上野竜生です。問7の答えを発表します。

問7

すべての実数xに対し

\( \cos{2x}=\cos^a{x}-\sin^b{x} \)

が成立するような自然数の組\( (a,b) \)をすべて求めよ。

 

答え

\( \displaystyle x=\frac{\pi}{4}\)を代入すると

\( \displaystyle 0=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^a-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^b \)

\( \displaystyle y=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^x \)は単調減少関数だから

\( \displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^a=\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^b\)ならば\( a=b\)である。

以下b=aとする。\(\displaystyle  x=\frac{3\pi}{2} \)を代入すると

\( -1=0^a-(-1)^a \)よりaは偶数。

\( \displaystyle x=\frac{\pi}{6} \)を代入すると

\( \displaystyle \frac{1}{2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^a-\left(\frac{1}{2} \right)^a \)

\( a\geq 6 \)のとき

(右辺)\( \displaystyle \leq \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^a \leq \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^6=\frac{27}{64} <\frac{1}{2} \)となるので

(左辺)≠(右辺)

よって(a,b)=(2,2),(4,4)以外はあり得ない。

(a,b)=(2,2)のとき,2倍角の公式より成り立つ。

(a,b)=(4,4)のとき

(右辺)=\(\cos^4{x}-\sin^4{x}=(\cos^2{x}+\sin^2{x})(\cos^2{x}-\sin^2{x})=\cos^2{x}-\sin^2{x}=\cos{2x} \)
=(左辺)となり成立。

よって答えは(a,b)=(2,2),(4,4)

 

 

 

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