今週の問題 問68 答え

上野竜生です。問68の答えを発表します。

問68

aは定数で3次方程式\( x^3-6x^2+9x-a=0 \)は異なる3つの正の実数解\(\alpha,\beta,\gamma\)をもつとする。
(1) \([\log_2{\alpha}]+[\log_2{\beta}]+[\log_2{\gamma}]=0 \)となるような実数aの範囲を求めよ。ただし[x]はxを超えない最大の整数を表す。
(2) \(|\log_2{\alpha}|+|\log_2{\beta}|+|\log_2{\gamma}|=3 \)となるような実数aの値を求めよ。

答え

\( y=f(x)= x^3-6x^2+9x \)とおく。y=f(x)とy=aの共有点が3個になる場合を考える。
\( f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3) \)より増減表とグラフは下の通り。

\(\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & 1 & \cdots & 3 & \cdots \\ \hline f’(x) & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 4 & \searrow & 0 & \nearrow \end{array} \)

y=f(x)のグラフ1

よって0<a<4のとき異なる3つの正の実数解をもちα<β<γとすると
0<α<1, 1<β<3, 3<γ<4となる。
(1)
\([\log_2{\gamma}]=1 , [\log_2{\beta}]= \)0または1である。

\( [\log_2{\beta}]=0 \)つまり1<β<2のとき (2<a<4のとき)
\( [\log_2{\alpha}]=-1 \)つまり\( \frac{1}{2} \leq \alpha < 1 \)
\( f(\frac{1}{2})=\frac{1}{8}-\frac{3}{2}+\frac{9}{2}=\frac{25}{8} , f(1)=4 \)より\( \frac{25}{8} \leq a <4 \)
2<a<4とあわせて\(\frac{25}{8} \leq a < 4 \)

\( [\log_2{\beta}]=1 \)つまり2≦β<3のとき (0<a≦2のとき)
\( [\log_2{\alpha}]=-2 \)つまり\( \frac{1}{4} \leq \alpha < \frac{1}{2} \)
\( f(\frac{1}{4})=\frac{1}{64}-\frac{3}{8}+\frac{9}{4}=\frac{1-24+144}{64}=\frac{121}{64} \)より\( \frac{121}{64} \leq a < \frac{25}{8} \)
0<a≦2とあわせて\(\frac{121}{64} \leq a \leq 2\)

以上より求める範囲は
\(\displaystyle \frac{121}{64} \leq a \leq 2 , \frac{25}{8} \leq a < 4 \)

(2)
\( |\log_2{\alpha}|=-\log_2{\alpha} , |\log_2{\beta}|=\log_2{\beta} , |\log_2{\gamma}|=\log_2{\gamma} \)であるから
\(|\log_2{\alpha}|+|\log_2{\beta}|+|\log_2{\gamma}| \\ = -\log_2{\alpha}+\log_2{\beta}+\log_2{\gamma} \\ = \displaystyle \log_2{\frac{\beta \gamma}{\alpha}} =3 \)
を解けばよい。
つまり
\(\displaystyle \frac{\beta \gamma}{\alpha}=8 \)を解けばよい。解と係数の関係より\(\alpha \beta \gamma=a \)だから
\( \alpha \beta \gamma= 8\alpha^2 =a \)
∴\(\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{2a}}{4}\)
このαに対しx=αをf(x)=aに代入すればよい。
\(\displaystyle \frac{a}{8}\cdot \frac{\sqrt{2a}}{4} – 6 \cdot \frac{a}{8} + 9 \cdot \frac{\sqrt{2a}}{4}-a =0 \)
両辺32倍して
\( a\sqrt{2a} – 24a + 72\sqrt{2a} – 32a =0\)
\( (a+72)\sqrt{2a} =56a \)
両辺\(\sqrt{2a}\)で割って
\( (a+72)=28\sqrt{2a} \)
両辺正だから2乗すると
\( (a+72)^2 = 28^2 \cdot (2a) \)
これを解くと\( a=712 \pm 224\sqrt{10} \)
0<a<4より\( a=712-224\sqrt{10} \)

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