今週の問題 問66 答え

上野竜生です。問66の答えを発表します。

問66

自然数n,mを用いて
202n+10mの形で表すことができない自然数のうち2020以下のものはいくつあるか?

答え

まず202n+10m=2(101n+5m)なので偶数しか表せない。よって奇数はどれも表せないので1010個以上存在する。
偶数について考える。2で割った次の数を数えればよい。

「101n+5mの形で表すことのできない自然数のうち1010以下のものはいくつあるか?」

101n+5mの形で表すことができる自然数の集合を考える。

n=1のとき101+5mは5で割って余りが1の数のうち106以上のものを表す。
n=2のとき202+5mは5で割って余りが2の数のうち207以上のものを表す。
n=3のとき303+5mは5で割って余りが3の数のうち308以上のものを表す。
n=4のとき404+5mは5で割って余りが4の数のうち409以上のものを表す。
n=5のとき505+5mは5で割って余りが0の数のうち510以上のものを表す。

n=6のとき606+5mは5で割って余りが1の数のうち611以上のものを表すがこれはn=1のときにも表せる数である。

一般に6≦n≦10のとき
101n+5m=101n-505+5m+505=101(n-5)+5(m+101)なのでn-5のときに表せる数に含まれている。

同様のことを繰り返すとn≧11のときもn=1,2,3,4,5のときの集合のどれかに含まれる。

よって101n+5mの形で表すことができない自然数は
5で割って余りが1の数のうち101以下のもの
5で割って余りが2の数のうち202以下のもの
5で割って余りが3の数のうち303以下のもの
5で割って余りが4の数のうち404以下のもの
5で割って余りが0の数のうち505以下のもの

これらの数はそれぞれ
21個,41個,61個,81個,101個ある。
よって偶数で表せないものは21+41+61+81+101=305個
以上より1010+305=1315個。

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