今週の問題 問65 答え

上野竜生です。問65の答えを発表します。

問65

次の空欄に当てはまる整数を答えよ。
9を99個ならべそのあとに89と続く整数
999999999・・・999989をAとする。\(\frac{1}{A}\)を小数で表すことを考えよう。
(1) A=10( ア ) – 11である。

(2) \(\displaystyle \frac{1}{A}=\frac{1}{10^{(ア)}-11}=\frac{1}{1-\frac{11}{10^{(ア)}}} \cdot \frac{1}{10^{(ア)}} \)
なので
\(\frac{1}{A}\)は初項が\( \frac{( イ )}{10^{(ア)}} \) , 公比が\(\frac{( ウ )}{10^{(ア)}} \)の無限等比級数の和に等しい。
(3) \(\frac{1}{A} \)を10進小数表示したとき小数点以下で最初に0以外の数字が来るのは小数第k位とするとk=( エ )であり小数第(2k)位の値は( オ )、小数第(3k)位の値は( カ )である。
(4) 小数第2020位は( キ )であり,小数第2019位は( ク )である。
(5) n=1,2,3,・・・の順に小数第(100n)位を調べると最初のうちは0が続くがn=( ケ )のときはじめて小数第(100n)位が0でなくなる。
ただし\(\log_{10}{11}=1.0413 \)として計算してよい。

答え

ア=101
A+11は1のあとに0が101個続く整数になるのでA+11=10101

イ=1, ウ=11
無限等比級数の和の公式と比較すればすぐにわかる

エ=101 オ=1 カ=1
\(\displaystyle \frac{1}{A}=\frac{1}{10^{101}} + \frac{11}{10^{202}} + \frac{11^2}{10^{303}} + \frac{11^3}{10^{404}} + \cdots \)
101桁ごとに改行して書くと
1/A=0.
000…00000000001
000…00000000011
000…00000000121
000…00000001331
・・・
と続く。よって最初に0以外が来るのは1行目の行末であるから小数第101位であり
小数第202位や小数第303位はそれぞれ2行目・3行目の行末だから1である。

キ=1 ク=9
小数第2019位・小数第2020位は20行目の行末の2ケタであるから1119の下2ケタと等しい。下1ケタは明らかに1
下2ケタ目は(10+1)19として二項定理を用いることにより9とわかる。

ケ=26
小数第100n位をみると
1/A=0.
000…00000000001
000…00000000011
000…00000000121
000…00000001331
・・・
だから11n-1が10n以上になるような最小のnが求めるものである。
11n-1≧10n
両辺に常用対数をとると
(n-1)log1011 ≧n
1.0413n-1.0413≧nより0.0413n≧1.0413
n≧25.21・・・だから最小のnは26

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