今週の問題 問64 答え

上野竜生です。問64の答えを発表します。

問64

\( 0\leq x < 2\pi , 0 \leq y <2\pi \)の範囲で次の連立方程式の解の組(x,y)は全部で何個あるか?
\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \cos{(x+y)}=\cos{x}\cos{y} \\ \cos{(x^2+y^2)}=\sin{x}\sin{y} \end{array} \right.\end{eqnarray} \)

答え

第1式の左辺を加法定理で展開すると
\(\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y}=\cos{x}\cos{y} \)となるので
\(\sin{x}\sin{y}=0 \)
よって\(\sin{x}=0 \)または\(\sin{y}=0 \)
つまりx=0またはx=πまたはy=0またはy=π
第2式の右辺は0なので
\(\cos{(x^2+y^2)}=0 \)つまり
\(\displaystyle x^2+y^2= \frac{(2n-1)\pi}{2} \)・・・①
\( (x,y)=(0,0),(\pi,\pi),(0,\pi),(\pi,0) \)は①を満たさない。
x=0のとき①より
\(\displaystyle y^2=\frac{(2n-1)\pi}{2} \)
\(0 \leq y < 2\pi \)より\( 0 \leq y^2 < 4\pi^2 \)
∴\(\displaystyle \frac{1}{2}≦n<4\pi + \frac{1}{2} \)なので
1≦n≦13の13組解が存在する。
y=0のときも同様に13組存在する。
x=πのとき①より
\(\displaystyle  y^2 =\frac{(2n-1)\pi}{2}-\pi^2 \)
∴\(\displaystyle \pi + \frac{1}{2} \leq n < 5\pi+\frac{1}{2} \)
4≦n≦16の13組解が存在する。
y=πのときも同様に13組存在する。
以上より解は全部で52個。

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