今週の問題 問60 答え

上野竜生です。問60の答えを発表します。

問60

aを実数の定数とする。xについての4次方程式
(x2-ax+2a+1){x2+(a-4)x-(4a-5)}=0
が異なる4つの解をもち,かつ複素数平面上でそれら4つの解を表す点が正方形となるような定数aの値を求めよ。

答え

2つの2次方程式
x2-ax+2a+1=0・・・①
x2+(a-4)x-(4a-5)・・・②
にわけて考える。①②が両方実数解をもつと4点がすべて実軸上にあるので正方形にはならず不適。
①②のうち片方が実数解、片方が虚数解のとき、虚数解は共役な解をもつから正方形の形は◇
①②の両方が虚数解のときは□となることに注意する。

◇のとき
虚数解をx=s+ti , s-tiとおくと正方形になるためには実数解はx=s+t , s-tにならなければならない。2つの解の和は等しく解と係数の関係より①②のxの係数が等しくならなければならない。
よって-a=a-4 ∴a=2
このとき①はx2-2x+5=0 ∴x=1±2i
②はx2-2x-3=0 ∴x=-1,3
となりこれらは正方形になる。

□のとき
①と②の虚部が等しくならなければならない。虚部は\( \pm \frac{\sqrt{(判別式)}}{2} \)だからつまり判別式が等しくならなければならない。よって
a2-4(2a+1)=(a-4)2+4(4a-5)
a2-8a-4=a2-8a+16+16a-20 ∴a=0
このとき①はx2+1=0 ∴x=±i
②はx2-4x+5=0 ∴x=2±i
となりこれらは正方形になる。

以上よりa=0,2のとき正方形となる。

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