上野竜生です。問６の答えを発表します。
問６
ある自然数\(n\)に対し\( (1+\sqrt{2})^n \)を計算すると整数部分は
263672646となった。この\( n \)と整数\( x,y \)に対し
\( (1+\sqrt{2})^n=x+y\sqrt{2} \)と表すとき\(x \)の値はいくらか？
263672646となった。この\( n \)と整数\( x,y \)に対し
\( (1+\sqrt{2})^n=x+y\sqrt{2} \)と表すとき\(x \)の値はいくらか？
答え
共役性より
\( (1-\sqrt{2})^n=x-y\sqrt{2} \)となる。
\( (1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n=x+y\sqrt{2}+x-y\sqrt{2}=2x \)
整数部分についての条件より263672646≦\((1+\sqrt{2})^n\)<263672647
\( -1<1-\sqrt{2}<0\)より\( -1<(1-\sqrt{2})^n < 1 \)
よって263672645<2x<263672648
xは整数だから2xは偶数であり2x=263672646
よってx=131836323
ちなみにn=22,
\( (1+\sqrt{2})^n=131836323+93222358\sqrt{2}\)です。
\( (1+\sqrt{2})^n=131836323+93222358\sqrt{2}\)です。
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