今週の問題 問6 答え

上野竜生です。問6の答えを発表します。

問6

ある自然数\(n\)に対し\( (1+\sqrt{2})^n \)を計算すると整数部分は
263672646となった。この\( n \)と整数\( x,y \)に対し
\( (1+\sqrt{2})^n=x+y\sqrt{2} \)と表すとき\(x \)の値はいくらか?

答え

共役性より

\( (1-\sqrt{2})^n=x-y\sqrt{2} \)となる。

\( (1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n=x+y\sqrt{2}+x-y\sqrt{2}=2x \)

整数部分についての条件より263672646≦\((1+\sqrt{2})^n\)<263672647

\( -1<1-\sqrt{2}<0\)より\( -1<(1-\sqrt{2})^n < 1 \)

よって263672645<2x<263672648

xは整数だから2xは偶数であり2x=263672646

よってx=131836323

ちなみにn=22,
\( (1+\sqrt{2})^n=131836323+93222358\sqrt{2}\)です。

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