上野竜生です。問59の答えを発表します。

問59

正の奇数から始まる連続5整数の積は平方数ではないことを示せ。
ただし問58の結果は用いてよい。

【参考】問58の結果: nを3以上の整数とするとき(n2-1)(n2-4)は平方数ではない

 

答え

背理法で示す。
nを奇数とすると
nと(n+1)は互いに素
nと(n-1)は互いに素
nと(n+2)は互いに素
nと(n-2)は互いに素 」①
なので
nと(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)は互いに素 」②
である。よってnを3以上の奇数として
(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)が平方数ならば
nと(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)の両方が平方数である。」③
しかし問58の結果より(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)は平方数ではないので矛盾。
よって正の奇数から始まる連続5整数の積は平方数ではない。(Q.E.D)

 

【詳細】

①:nとn+2の最大公約数をdとおくと
n=Ad
n+2=Bdとおける。差をとると
2=(B-A)dとなるからdは2の約数であり1または2
しかしnは奇数だから2を約数に持たない。よってd=1
それ以外も同様に示せる。

②:対偶を示す
「(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)とnの最大公約数が2以上ならば(n-2),(n-1),(n+1),(n+2)の少なくとも1つはnと最大公約数が2以上」
2以上の公約数をpとおく。(pは素数としてよい。∵pが素数でなければpを素因数分解して現れる素数のうちの1つを改めてpとおけばよい)
nはpの倍数。(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)もpの倍数。
よってn-2,n-1,n+1,n+2のいずれかはpの倍数となるのでそれとnは2以上の公約数pをもつ。

③:nを素因数分解したとき奇数乗になる素数pが存在すると
(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)を素因数分解したときのpも奇数乗になる。
つまり公約数pをもつので最大公約数が1であることに矛盾。
つまりnを素因数分解するとすべて偶数乗となりnは平方数。
(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)も同様に平方数。

 

 

 

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか?数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学> <大学数学> さらにオススメの塾、特にオンラインの塾についてまとめてみました。自分一人だけでは自信のない人はこちらも参考にすると成績が上がります。