今週の問題 問55 答え

上野竜生です。問55の答えを発表します。

問55

円x2+(y-1)2=1の円周上に点A(0,0)とB,C,D,E,F,G,H,I,J,K,Lを,十二角形ABCDEFGHIJKLが正十二角形となるようにとる。正十二角形ABCDEFGHIJKLの内部と周をMとするときMをx軸まわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

問55

答え

<解1>地道に計算する

対称性よりx≧0の部分だけ求めて2倍すればよい。
\( B(\frac{1}{2},1-\frac{\sqrt{3}}{2}),C(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}), D(1,1),E(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}),F(\frac{1}{2}, 1+\frac{\sqrt{3}}{2}) , G(0,2) \)である。

ここで次の体積を計算しておく。

P(a,b) ,Q(c,d) ,R(c,2-d) ,S(a,2-b)を頂点とする四角形PQRSをx軸まわりに1回転させてできる立体の体積(a≦c,b≦1,d≦1)

問55 補題
PQの方程式は\(\displaystyle y-d=\frac{d-b}{c-a}(x-c) \)なので
\(\displaystyle y=\frac{d-b}{c-a}x+\frac{bc-ad}{c-a} \)
RSの方程式は\(\displaystyle  y-(2-d)=\frac{(2-b)-(2-d)}{a-c}(x-c) \)なので
\(\displaystyle y=-(\frac{d-b}{c-a}x+\frac{bc-ad}{c-a})+2 \)
よって体積は
\(\displaystyle \pi \int_a^c \left(-(\frac{d-b}{c-a}x+\frac{bc-ad}{c-a})+2 \right)^2- \left(\frac{d-b}{c-a}x+\frac{bc-ad}{c-a} \right)^2 dx \\
=\displaystyle \pi \int_a^c -4(\frac{d-b}{c-a}x+\frac{bc-ad}{c-a})+4 dx \\
=\displaystyle \pi \left[-2\frac{d-b}{c-a} x^2 -4\frac{bc-ad}{c-a}x+4x \right]_a^c \\
=\displaystyle -2\pi (d-b)(c+a)-4\pi (bc-ad)+4\pi (c-a) \\
= \pi (-2bc-2cd+2ab+2ad +4c-4a)=2\pi (c-a)(2-b-d)\)

よって四角形ABFGを1回転させてできる体積は
\(2 \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot (2-0-(1-\frac{\sqrt{3}}{2}))=\pi (\frac{2+\sqrt{3}}{2})\)
四角形BCEFを1回転させてできる体積は
\(2 \pi (\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}) \cdot (2-(1-\frac{\sqrt{3}}{2})-\frac{1}{2})=\pi (\sqrt{3}-1)\cdot \frac{1+\sqrt{3}}{2}=\pi\)
三角形CDEを1回転させてできる体積は四角形CDDEとみると
\(2 \pi (1-\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot (2-1-\frac{1}{2})=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\pi \)
合わせると
\(\displaystyle \frac{2+\sqrt{3}}{2}\pi + \pi + \frac{2-\sqrt{3}}{2}\pi =3\pi \)
求める体積はx≧0の体積の2倍なので6π

<解2>パップスギュルダンの定理を使う

正十二角形の面積は3
正十二角形の重心は(0,1)で重心の移動距離は2πだから
体積は3×2π=6π

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