今週の問題 問53 答え

上野竜生です。問53の答えを発表します。

問53

aを実数の定数とする。xについての3次方程式
\(x^3 + 2ax^2 +a^2-2a+1=0\)
の実数解を\(\alpha\)とするとき、\(\alpha\)のとりうる範囲を求めよ。

答え

aについて降べきの順に整理すると
\(a^2+2(x^2-1)a+(x^3+1)=0 \)
aは実数だから判別式は0以上。よって
\( (x^2-1)^2-(x^3+1)\geq 0 \)
整理すると
\( x^4-x^3-2x^2=x^2 (x-2)(x+1) \geq 0\)
これを解くと
\( x \leq -1 , x=0 , x \geq 2 \)
これが求める範囲である。よって答えは
\( \alpha \leq -1 , \alpha=0 , \alpha \geq 2\)
(,はすべて「または」の意味です)

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