今週の問題 問52 答え

上野竜生です。問52の答えを発表します。

問52

不定積分\(\displaystyle \int \frac{\sin{x}}{2\sin{x}+\cos{x}} dx \)を計算せよ。

答え

\(\displaystyle \int \frac{\sin{x}}{2\sin{x}+\cos{x}} dx \\ = \displaystyle \int \left(\frac{2}{5}\cdot \frac{2\sin{x}+\cos{x}}{2\sin{x}+\cos{x}}-\frac{1}{5}\cdot \frac{2\cos{x}-\sin{x}}{2\sin{x}+\cos{x}} \right)dx \\ \displaystyle = \int \left( \frac{2}{5}-\frac{1}{5}\cdot \frac{(2\sin{x}+\cos{x})’}{2\sin{x}+\cos{x}} \right)dx \\ \displaystyle = \frac{2}{5}x – \frac{1}{5} \log{|2\sin{x}+\cos{x}|}+C \)

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