上野竜生です。問51の答えを発表します。
問51
0°<x<22.5°の範囲で次の方程式を解け。
\(\displaystyle \frac{1}{\tan{x}}-\frac{1}{\tan{2x}}-\frac{1}{\tan{3x}}-\frac{1}{\tan{4x}}=0\)
答え
\(\displaystyle \frac{1}{\tan{x}}-\frac{1}{\tan{2x}}=\frac{1}{\tan{3x}}+\frac{1}{\tan{4x}}\)
\(\displaystyle \frac{\cos{x}}{\sin{x}}-\frac{\cos{2x}}{\sin{2x}}=\frac{\cos{3x}}{\sin{3x}}+\frac{\cos{4x}}{\sin{4x}}\)
\(\displaystyle \frac{\sin{2x}\cos{x}-\cos{2x}\sin{x}}{\sin{x}\sin{2x}}=\frac{\sin{4x}\cos{3x}+\cos{4x}\sin{3x}}{\sin{3x}\sin{4x}}\)
\(\displaystyle \frac{1}{\sin{2x}}=\frac{\sin{7x}}{\sin{3x}\sin{4x}}\) （∵\(\sin{x}\neq 0 \)）
\(\sin{7x}\sin{2x}=\sin{3x}\sin{4x}\)
\(\sin{7x}=2\sin{3x}\cos{2x}\) （∵2倍角の公式とsin2x≠0）
\(\sin{7x}=\sin{5x}+\sin{x} \) （∵積和の公式）
\(\sin{7x}-\sin{5x}=\sin{x} \)
\(2\cos{6x}\sin{x}=\sin{x} \) （∵和積の公式）
\(\cos{6x}=\frac{1}{2} \) （∵sinx≠0）
6x=60° （∵0<6x<135°)
x=10°
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