今週の問題 問51 答え

上野竜生です。問51の答えを発表します。

問51

0°<x<22.5°の範囲で次の方程式を解け。
\(\displaystyle \frac{1}{\tan{x}}-\frac{1}{\tan{2x}}-\frac{1}{\tan{3x}}-\frac{1}{\tan{4x}}=0\)

答え

\(\displaystyle \frac{1}{\tan{x}}-\frac{1}{\tan{2x}}=\frac{1}{\tan{3x}}+\frac{1}{\tan{4x}}\)

\(\displaystyle \frac{\cos{x}}{\sin{x}}-\frac{\cos{2x}}{\sin{2x}}=\frac{\cos{3x}}{\sin{3x}}+\frac{\cos{4x}}{\sin{4x}}\)

\(\displaystyle \frac{\sin{2x}\cos{x}-\cos{2x}\sin{x}}{\sin{x}\sin{2x}}=\frac{\sin{4x}\cos{3x}+\cos{4x}\sin{3x}}{\sin{3x}\sin{4x}}\)

\(\displaystyle \frac{1}{\sin{2x}}=\frac{\sin{7x}}{\sin{3x}\sin{4x}}\) (∵\(\sin{x}\neq 0 \))

\(\sin{7x}\sin{2x}=\sin{3x}\sin{4x}\)

\(\sin{7x}=2\sin{3x}\cos{2x}\) (∵2倍角の公式とsin2x≠0)

\(\sin{7x}=\sin{5x}+\sin{x} \) (∵積和の公式)

\(\sin{7x}-\sin{5x}=\sin{x} \)

\(2\cos{6x}\sin{x}=\sin{x} \) (∵和積の公式)

\(\cos{6x}=\frac{1}{2} \) (∵sinx≠0)

6x=60°  (∵0<6x<135°)

x=10°

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