今週の問題 問50 答え

上野竜生です。問50の答えを発表します。

問50

三角形ABCの3つの傍心をD,E,Fとする。
三角形DEFの3辺の比が4:5:6のとき三角形ABCの3辺の比を求めよ。

答え

傍心の関係

上の図よりAは辺EF上にある。
(∵2○+2△=180° ∠FAE=2○+2△=180°)
同様にBはDF上に,CはDE上にある。
また∠FAD=○+△=90°なのでDからEFに下した垂線の足がAである。

垂心の関係

また上の図で
AE=fcosE , CE=dcosEなので
△EACと△EDFは相似(2辺の比とその間の角がそれぞれ等しい)
EA:EC:AC=ED:EF:DF
fcosE:dcosE:AC=f:d:eよりAC=ecosE
同様にAB=fcosF , BC=dcosD

求めるものはdcosD:ecosE:fcosF
d:e:f=4:5:6よりd=4k , e=5k , f=6kを代入すると
\(\displaystyle (4k)\cdot \frac{(5k)^2+(6k)^2-(4k)^2}{2\cdot 5k \cdot 6k} : (5k)\cdot \frac{(6k)^2+(4k)^2-(5k)^2}{2\cdot 6k \cdot 4k} :(6k)\cdot \frac{(4k)^2+(5k)^2-(6k)^2}{2\cdot 4k \cdot 5k}\\
=\displaystyle 4\cdot \frac{45}{60}:5\cdot \frac{27}{48} : 6\cdot \frac{5}{40}\\
=\displaystyle 3:\frac{45}{16}:\frac{3}{4}=48:45:12=16:15:4\)

よって3辺の比は4:15:16

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