今週の問題 問47 答え

上野竜生です。問47の答えを発表します。

問47

xy平面において原点と点(6,0),(-3,9)を通る放物線Cは直線y=-3を接線にもつという。このような放物線Cの方程式をすべて求めよ。

答え

一般に放物線の式はax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 (b2-4ac=0)とかける。

b=0のとき

a=0またはc=0でa=0なら軸はx軸に平行であり,x=f(y)の形で書けるがy座標が同じ2点(0,0),(6,0)を通ることからこのような関数f(y)は存在せず不適。

c=0なら軸はy軸に平行でありy=f(x)の形で書ける。2点(0,0)と(6,0)を通るので

y=ax(x-6)とおけ,(-3,9)を通るので\( a=\frac{1}{3} \)であり,

\(\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2-2x = \frac{1}{3}(x-3)^2 -3 \)となる。

頂点は(3,-3)なのでy=-3を接線にもち,条件を満たす。

b≠0のとき 両辺を\(\frac{b}{2} \)で割ることによりb=2としても一般性を失わない。

b2-4ac=0よりac=1 ∴\( c=\frac{1}{a} \)(特にa,cは0ではない)

原点を通るからf=0

点(6,0)を通るから36a+6d=0 ∴d=-6a

ここまでを整理すると

\( ax^2+2xy + \frac{1}{a}y^2 -6ax + ey=0 \)

点(-3,9)を通るから\( 9a-54+\frac{81}{a}+18a+9e=0 \)

∴\(e=-3a+6-\frac{9}{a} \)

ここまでを整理すると

\( ax^2+2xy + \frac{1}{a}y^2 -6ax + (-3a+6-\frac{9}{a})y=0 \)・・・(*)

y=-3を接線にもつから(*)にy=-3を代入した式

\( ax^2 -6x +\frac{9}{a} – 6ax + 9a-18+\frac{27}{a}=0 \)

の判別式が0である。xについて降べきの順に整理すると

\( ax^2 -2(3a+3)x+(9a-18+\frac{36}{a})=0 \)

よって判別式=0より

\( 9(a+1)^2-9a(a-2+\frac{4}{a})=0 \)

⇔\( a^2+2a+1-a^2+2a-4=4a-3=0 \)

∴\( a=\frac{3}{4} \)

これを(*)に代入すると

\( \frac{3}{4}x^2 +2xy +\frac{4}{3}y^2 – \frac{9}{2}x-\frac{33}{4}y= 0 \)

両辺に12をかけると

9x2+24xy+16y2-54x-99y=0

以上より求める放物線の方程式は

\( y=\frac{1}{3}x^2-2x , 9x^2+24xy+16y^2-54x-99y=0 \)

問47参考グラフ

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