今週の問題 問46 答え

上野竜生です。問46の答えを発表します。

問46

\( f(x)=x^2 e^x \)とする。サイコロをn回投げて出た目の和をNとし、f(x)をxでN回微分した関数をf(N)(x)とする。
f(N)(0)が3の倍数になる確率pn(n≧1)求めよ。

(注)サイコロはどの目が出る確率も等しいものとする。

答え

\( f^{(N)}(x)=(x^2+2Nx+N(N-1))e^x \)であることを数学的帰納法で示す。

N=1のとき\(f'(x)=(x^2+2x)e^x \)より成立。

N=kで成立すると仮定するとN=k+1のとき

\( f^{(k+1)}(x)=\{f^{(k)}(x) \}’= \{(x^2+2kx+k(k-1))e^x \}’ \\
=(x^2+ 2kx+ k(k-1) + 2x + 2k)e^x \\
=(x^2+ 2(k+1)x + (k+1)k )e^x \)となるので

N=k+1のときも成立。

よってf(N)(0)=N(N-1)である。

Nが3の倍数のときf(N)(0)は3の倍数。

Nを3で割った余りが1のときf(N)(0)は3の倍数。

Nを3で割った余りが2のときf(N)(0)は3の倍数ではない。

よって求める確率はNを3で割った余りが0または1になる確率である。

\(p_1=\frac{2}{3} \)

\(p_{n+1}=\frac{2}{3} p_n + \frac{2}{3} (1-p_n) = \frac{2}{3} \)

より\( p_n=\frac{2}{3} \)

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