今週の問題 問45 答え

上野竜生です。問45の答えを発表します。

問45

数列{an}は次の漸化式を満たす。
・\(a_1=100, a_2=200 \)
・\((n+2)a_{n+2}+(n+1)a_{n+1}+na_n =0 (n \geq 1)\)
anが整数となるような最大の自然数nを求めよ。

答え

\( b_n = na_n \)とおくと\(b_1=100 , b_2=400 \)
\(b_{n+2}+b_{n+1}+b_n=0 \)・・・①
①より\(b_{n+3}+b_{n+2}+b_{n+1}=0 \)・・・②が成り立つ。
②-①より\( b_{n+3}=b_n \)が成り立ち、周期3で繰り返す。
①より\(b_3=-500\)なのでbnの一般項は
nを3で割った余りが1のとき\(b_n=100 \)
nを3で割った余りが2のとき\(b_n=400 \)
nが3の倍数のとき\(b_n=-500\)
よって一般項an
nを3で割った余りが1のとき\(a_n=\frac{100}{n} \)
nを3で割った余りが2のとき\(a_n=\frac{400}{n} \)
nが3の倍数のとき\(a_n=-\frac{500}{n}\)
これが整数になるnを探す。
nが3の倍数のときは500が3の倍数でないので\(a_n=-\frac{500}{n}\)は整数にはならない。
nを3割った余りが2のときnが400の約数ならばanは整数になる。
n=400は3で割った余りが2でないので不適。n=200が最大である。
nを3で割った余りが1のときnが100の約数ならばanは整数になる。n=100が最大。
以上より条件を満たす最大のnはn=200

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