当サイトは、PRを含む場合があります。

上野竜生です。問44の答えを発表します。

問44 

次の3条件をすべて満たす自然数nは存在するか?
<条件1> nを2019で割った余りは1ではない。
<条件2> n2を2019で割った余りは1ではない。
<条件3> n3を2019で割った余りは1である。

 

答え

2019=3×673であり673は素数である。
3で割った余りと673で割った余りにわけて考える。
<条件3>を満たすことを考える。よってn3を3,673で割った余りはどちらも1。
3で割った余りに着目すると
nを3で割った余りが0のときn3を3で割った余りは0
nを3で割った余りが1のときn3を3で割った余りは1
nを3で割った余りが2のときn3を3で割った余りは2
なのでnを3で割った余りは1になる。
よって次の命題を考えればよい。(次の命題が成り立てば問題の答えは「存在しない」であり,命題が成り立たなければ問題の答えは「存在する」である。)

命題「n3を673で割った余りが1ならばnを673で割った余りは1」

フェルマーの小定理より2672を673で割った余りは1
ここで2224を673で割った余りを調べてみる。以下すべて(mod 673)
21≡2, 22≡4 , 24≡16 , 28≡256 , 216≡65536≡255 , 232=65025≡417 , 264≡173889≡255
2128≡417より 2224=2128・264・232≡417・255・417≡44341695≡417
よってnを673で割った余りが417ならばn3を673で割った余りは1

命題は成り立たない。

(2448≡4172≡173889≡255よりnを673で割った余りが255のときもn3を673で割った余りは1)
よってnを3で割った余りが1かつnを673で割った余りが255または417となる自然数,つまり
nを2019で割った余りが928,1090のとき<条件1><条件3>を満たす。
このときn2≡861184,1188100≡417 , 255なので<条件2>も満たす。
以上より3条件をすべて満たす自然数は存在する。(nを2019で割った余りが928または1090である自然数)

 

正解者 1名(kuheiya さま)

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか?数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学> <大学数学> さらにオススメの塾、特にオンラインの塾についてまとめてみました。自分一人だけでは自信のない人はこちらも参考にすると成績が上がります。