今週の問題 問44 答え

上野竜生です。問44の答えを発表します。

問44

次の3条件をすべて満たす自然数nは存在するか?
<条件1> nを2019で割った余りは1ではない。
<条件2> n2を2019で割った余りは1ではない。
<条件3> n3を2019で割った余りは1である。

答え

2019=3×673であり673は素数である。
3で割った余りと673で割った余りにわけて考える。
<条件3>を満たすことを考える。よってn3を3,673で割った余りはどちらも1。
3で割った余りに着目すると
nを3で割った余りが0のときn3を3で割った余りは0
nを3で割った余りが1のときn3を3で割った余りは1
nを3で割った余りが2のときn3を3で割った余りは2
なのでnを3で割った余りは1になる。
よって次の命題を考えればよい。(次の命題が成り立てば問題の答えは「存在しない」であり,命題が成り立たなければ問題の答えは「存在する」である。)

命題「n3を673で割った余りが1ならばnを673で割った余りは1」

フェルマーの小定理より2672を673で割った余りは1
ここで2224を673で割った余りを調べてみる。以下すべて(mod 673)
21≡2, 22≡4 , 24≡16 , 28≡256 , 216≡65536≡255 , 232=65025≡417 , 264≡173889≡255
2128≡417より 2224=2128・264・232≡417・255・417≡44341695≡417
よってnを673で割った余りが417ならばn3を673で割った余りは1

命題は成り立たない。

(2448≡4172≡173889≡255よりnを673で割った余りが255のときもn3を673で割った余りは1)
よってnを3で割った余りが1かつnを673で割った余りが255または417となる自然数,つまり
nを2019で割った余りが928,1090のとき<条件1><条件3>を満たす。
このときn2≡861184,1188100≡417 , 255なので<条件2>も満たす。
以上より3条件をすべて満たす自然数は存在する。(nを2019で割った余りが928または1090である自然数)

数学はもちろん他の科目も勉強できる「スタディサプリ」なら人気講師の授業動画で、塾にいかなくてもまるで塾にいったかのような勉強ができます。塾と比較すると格安で、しかも無料おためしもできます。当サイトオススメのサイトです。


スタディサプリについて解説したページはこちら
スポンサーリンク

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする