上野竜生です。問43の答えを発表します。

問43

2a+2b+2cが10以下の整数となるような整数(a,b,c)の組は何個あるか

 

答え

X=2a+2b+2cとする。明らかにX>0である。

a,b,cの中に-1以下を含むとき

a≦-2かつb≦-2かつc≦-2とするとX<1なので整数にはならず,不適。

ゆえにa,b,cのうち少なくとも1つは-1である。

a=-1とする。

b≦-3,c≦-3のときも2a+2b+2c<1なので整数にはならず,不適。

b,cのうち少なくとも一方は-2以上である。

またb≧0,c≧0のときもXは整数にならないので不適。

b,cのうち少なくとも一方は-1以下である。

b=-1,-2の場合のみ調べる。

b=-2のときc=-2ならばX=1となり整数だがそれ以外のときは整数にならない。

b=-1のとき2a+2b=1なので2cが9以下の整数になれば良い。∴c=0,1,2,3

以上よりa,b,cのうち少なくとも1つが-1以下の場合の(a,b,c)の組はa≦b≦cに限定すると
(a,b,c)=(-2,-2,-1),(-1,-1,0),(-1,-1,1),(-1,-1,2),(-1,-1,3)のみで
a,b,cの並べ替えも考慮すると15組ある。

 

a,b,cがすべて0以上のとき

a,b,cのうち少なくとも1つが4以上だとX>16になるのでa,b,cはすべて3以下である。

a,b,cのうち少なくとも1つが3のとき

a=3とすると2b+2c=2なのでb=c=0しかない。b=3,c=3のときも同様

以上よりa,b,cのうち少なくとも1つが3以上のときの(a,b,c)の組み合わせは
(a,b,c)=(0,0,3)とその並べ替えのみで3個ある。

残りはa,b,cがすべて0,1,2のいずれかの場合だけである。

a,b,cがすべて0,1,2のいずれかのとき

全部で27通りの決め方があるがその中で条件を満たさないのは

(a,b,c)=(2,2,2)のみ。よってこの場合は26個ある。

以上より15+3+26=44個ある。

 

 

<参考>

(-2,-2,-1)型 3個
(-1,-1, 0~3)型 12個
(0,0,0) 1個
(0,0,1~3)型 9個
(0,1,1)型 3個
(0,1,2)型 6個
(0,2,2)型 3個
(1,1,1) 1個
(1,1,2)型 3個
(1,2,2)型 3個

 

 

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか?数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学> <大学数学> さらにオススメの塾、特にオンラインの塾についてまとめてみました。自分一人だけでは自信のない人はこちらも参考にすると成績が上がります。