今週の問題 問43 答え

上野竜生です。問43の答えを発表します。

問43

2a+2b+2cが10以下の整数となるような整数(a,b,c)の組は何個あるか

答え

X=2a+2b+2cとする。明らかにX>0である。

a,b,cの中に-1以下を含むとき

a≦-2かつb≦-2かつc≦-2とするとX<1なので整数にはならず,不適。

ゆえにa,b,cのうち少なくとも1つは-1である。

a=-1とする。

b≦-3,c≦-3のときも2a+2b+2c<1なので整数にはならず,不適。

b,cのうち少なくとも一方は-2以上である。

またb≧0,c≧0のときもXは整数にならないので不適。

b,cのうち少なくとも一方は-1以下である。

b=-1,-2の場合のみ調べる。

b=-2のときc=-2ならばX=1となり整数だがそれ以外のときは整数にならない。

b=-1のとき2a+2b=1なので2cが9以下の整数になれば良い。∴c=0,1,2,3

以上よりa,b,cのうち少なくとも1つが-1以下の場合の(a,b,c)の組はa≦b≦cに限定すると
(a,b,c)=(-2,-2,-1),(-1,-1,0),(-1,-1,1),(-1,-1,2),(-1,-1,3)のみで
a,b,cの並べ替えも考慮すると15組ある。

a,b,cがすべて0以上のとき

a,b,cのうち少なくとも1つが4以上だとX>16になるのでa,b,cはすべて3以下である。

a,b,cのうち少なくとも1つが3のとき

a=3とすると2b+2c=2なのでb=c=0しかない。b=3,c=3のときも同様

以上よりa,b,cのうち少なくとも1つが3以上のときの(a,b,c)の組み合わせは
(a,b,c)=(0,0,3)とその並べ替えのみで3個ある。

残りはa,b,cがすべて0,1,2のいずれかの場合だけである。

a,b,cがすべて0,1,2のいずれかのとき

全部で27通りの決め方があるがその中で条件を満たさないのは

(a,b,c)=(2,2,2)のみ。よってこの場合は26個ある。

以上より15+3+26=44個ある。

<参考>

(-2,-2,-1)型 3個
(-1,-1, 0~3)型 12個
(0,0,0) 1個
(0,0,1~3)型 9個
(0,1,1)型 3個
(0,1,2)型 6個
(0,2,2)型 3個
(1,1,1) 1個
(1,1,2)型 3個
(1,2,2)型 3個

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