今週の問題 問43 答え

上野竜生です。問43の答えを発表します。

問43

2^a+2^b+2^cが10以下の整数となるような整数(a,b,c)の組は何個あるか

答え

X=2^a+2^b+2^cとする。明らかにX>0である。

a≦-2かつb≦-2かつc≦-2とするとX<1なので整数にはならず，不適。

ゆえにa,b,cのうち少なくとも1つは-1である。

a=-1とする。

b≦-3,c≦-3のときも2^a+2^b+2^c<1なので整数にはならず，不適。

b,cのうち少なくとも一方は-2以上である。

またb≧0,c≧0のときもXは整数にならないので不適。

b,cのうち少なくとも一方は-1以下である。

b=-1,-2の場合のみ調べる。

b=-2のときc=-2ならばX=1となり整数だがそれ以外のときは整数にならない。

b=-1のとき2^a+2^b=1なので2^cが9以下の整数になれば良い。∴c=0,1,2,3

以上よりa,b,cのうち少なくとも1つが-1以下の場合の(a,b,c)の組はa≦b≦cに限定すると
(a,b,c)=(-2,-2,-1),(-1,-1,0),(-1,-1,1),(-1,-1,2),(-1,-1,3)のみで
a,b,cの並べ替えも考慮すると15組ある。

a,b,cのうち少なくとも1つが4以上だとX＞16になるのでa,b,cはすべて3以下である。

a=3とすると2^b+2^c=2なのでb=c=0しかない。b=3,c=3のときも同様

以上よりa,b,cのうち少なくとも1つが3以上のときの(a,b,c)の組み合わせは
(a,b,c)=(0,0,3)とその並べ替えのみで3個ある。

残りはa,b,cがすべて0,1,2のいずれかの場合だけである。

全部で27通りの決め方があるがその中で条件を満たさないのは

(a,b,c)=(2,2,2)のみ。よってこの場合は26個ある。

以上より15+3+26=44個ある。

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