上野竜生です。問43の答えを発表します。
問43
2a+2b+2cが10以下の整数となるような整数(a,b,c)の組は何個あるか
答え
X=2a+2b+2cとする。明らかにX>0である。
a,b,cの中に-1以下を含むとき
a≦-2かつb≦-2かつc≦-2とするとX<1なので整数にはならず,不適。
ゆえにa,b,cのうち少なくとも1つは-1である。
a=-1とする。
b≦-3,c≦-3のときも2a+2b+2c<1なので整数にはならず,不適。
b,cのうち少なくとも一方は-2以上である。
またb≧0,c≧0のときもXは整数にならないので不適。
b,cのうち少なくとも一方は-1以下である。
b=-1,-2の場合のみ調べる。
b=-2のときc=-2ならばX=1となり整数だがそれ以外のときは整数にならない。
b=-1のとき2a+2b=1なので2cが9以下の整数になれば良い。∴c=0,1,2,3
以上よりa,b,cのうち少なくとも1つが-1以下の場合の(a,b,c)の組はa≦b≦cに限定すると
(a,b,c)=(-2,-2,-1),(-1,-1,0),(-1,-1,1),(-1,-1,2),(-1,-1,3)のみで
a,b,cの並べ替えも考慮すると15組ある。
(a,b,c)=(-2,-2,-1),(-1,-1,0),(-1,-1,1),(-1,-1,2),(-1,-1,3)のみで
a,b,cの並べ替えも考慮すると15組ある。
a,b,cがすべて0以上のとき
a,b,cのうち少なくとも1つが4以上だとX>16になるのでa,b,cはすべて3以下である。
a,b,cのうち少なくとも1つが3のとき
a=3とすると2b+2c=2なのでb=c=0しかない。b=3,c=3のときも同様
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以上よりa,b,cのうち少なくとも1つが3以上のときの(a,b,c)の組み合わせは
(a,b,c)=(0,0,3)とその並べ替えのみで3個ある。
(a,b,c)=(0,0,3)とその並べ替えのみで3個ある。
残りはa,b,cがすべて0,1,2のいずれかの場合だけである。
a,b,cがすべて0,1,2のいずれかのとき
全部で27通りの決め方があるがその中で条件を満たさないのは
(a,b,c)=(2,2,2)のみ。よってこの場合は26個ある。
以上より15+3+26=44個ある。
<参考>
(-2,-2,-1)型 | 3個 |
(-1,-1, 0~3)型 | 12個 |
(0,0,0) | 1個 |
(0,0,1~3)型 | 9個 |
(0,1,1)型 | 3個 |
(0,1,2)型 | 6個 |
(0,2,2)型 | 3個 |
(1,1,1) | 1個 |
(1,1,2)型 | 3個 |
(1,2,2)型 | 3個 |
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