今週の問題 問40 答え

上野竜生です。問40の答えを発表します。

問40

6つの面に「0」「0」「0」「1」「1」「2」と書かれた六面体のサイコロをn回投げたとき、出た目の積が2以下になる確率をpnとする。pnが最小となるのはnがいくらのときか?

(サイコロはどの面がでる確率も等しいものとする。)

答え

出た目の積が0になる確率は\(\displaystyle 1-\left(\frac{1}{2}\right)^n \)

少なくとも1回「0」が出る確率=すべて「1」「2」が出る場合の余事象

出た目の積が1になる確率は\(\displaystyle \left(\frac{1}{3} \right)^n\)

すべて「1」が出る場合に限ります。

出た目の積が2になる確率は\(\displaystyle n\left( \frac{1}{6} \right) \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}=\frac{n}{2} \left(\frac{1}{3} \right)^n \)

1回だけ「2」が出て,それ以外はすべて「1」が出る確率。
何回目に「2」が出るかを決めるのがn通りあるのでn倍する必要があります。

よって

\(\displaystyle p_n=1-\left(\frac{1}{2}\right)^n + \left( \frac{n}{2}+1 \right) \left(\frac{1}{3} \right)^n \)

pn+1-pnの符号を調べる。

\(\displaystyle p_{n+1}-p_n \\ \displaystyle= 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} + \left( \frac{n+1}{2}+1 \right) \left(\frac{1}{3} \right)^{n+1} – 1+\left(\frac{1}{2}\right)^n – \left( \frac{n}{2}+1 \right) \left(\frac{1}{3} \right)^n\\
=\displaystyle -\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} + \left( \frac{n+3}{6} \right) \left(\frac{1}{3} \right)^{n} +\left(\frac{1}{2}\right)^n – \left( \frac{n+2}{2} \right) \left(\frac{1}{3} \right)^n \\
=\displaystyle \left(\frac{1}{2} \right)^{n+1} – \frac{2n+3}{6} \left(\frac{1}{3} \right)^n \)

これをqnとおく。qnと0の大小を比較する。qnを6・3n倍すると

\(\displaystyle 6\cdot 3^n q_n = 3 \left( \frac{3}{2} \right)^n – (2n+3) \)

n=1のとき右辺=\(\frac{9}{2}-5 <0 \)

n=2のとき右辺=\(\frac{27}{4}-7<0 \)

n=3のとき右辺=\(\frac{81}{8}-9>0 \)

n≧3のとき\(\displaystyle 3 \left( \frac{3}{2} \right)^n – (2n+3) >0 \)を数学的帰納法で示す。n=3のときはすでに示した。

n=kで成立すると仮定する。つまり

\(\displaystyle 3 \left( \frac{3}{2} \right)^k > 2k+3 \)と仮定するとn=k+1のとき

\(\displaystyle 3 \left( \frac{3}{2} \right)^{k+1} – (2(k+1)+3) \\
>\displaystyle \frac{3}{2}(2k+3)-(2k+5)=k-\frac{1}{2}>0\)

よりn=k+1のときも成立。よって

qn=pn+1-pnはn=1,2のとき負。n≧3のとき正である。

p1>p2>p3<p4<p5<・・・よりn=3で最小値をとる。

ちなみに\(\displaystyle p_3=\frac{209}{216}\)です。

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