上野竜生です。問４の答えを発表します。
問４
答え
\(\displaystyle t=\tan{\frac{\theta}{2}} \)と置換する。
このとき，\( \displaystyle \frac{d\theta}{dt}=\frac{2}{1+t^2} , \cos{\theta}=\frac{1-t^2}{1+t^2}\)となるから求める積分は
\( \displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{\frac{2}{1+t^2}dt}{3-\frac{1-t^2}{1+t^2}}= \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{2dt}{3+3t^2-1+t^2}=\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{dt}{2t^2+1} \)
\( t=\frac{\sqrt{2}}{2}\tan{x} \)とおく。また\( \alpha \)を，\( \tan{\alpha}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)を満たす角\( (0<\alpha< \frac{\pi}{2}) \)とする。すると\( \displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{\cos^2{x}}\)より求める積分は
\( \displaystyle \int_{0}^{\alpha} \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{\cos^2{x}}dx}{2(\frac{\sqrt{2}}{2}\tan{x})^2+1}=\int_{0}^{\alpha} \frac{\sqrt{2}}{2} dx=\frac{\sqrt{2}}{2}\alpha\)
\( \alpha= \arctan{\frac{\sqrt{6}}{3}}\)なので求める答えは
\( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\arctan{\frac{\sqrt{6}}{3}}\)
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
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