今週の問題 問4 答え

上野竜生です。問4の答えを発表します。

問4

定積分\( \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{d\theta}{3-\cos{\theta}}\)を求めよ。

答え

\(\displaystyle  t=\tan{\frac{\theta}{2}} \)と置換する。

このとき,\( \displaystyle \frac{d\theta}{dt}=\frac{2}{1+t^2} , \cos{\theta}=\frac{1-t^2}{1+t^2}\)となるから求める積分は

\( \displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{\frac{2}{1+t^2}dt}{3-\frac{1-t^2}{1+t^2}}= \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{2dt}{3+3t^2-1+t^2}=\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{dt}{2t^2+1} \)

\( t=\frac{\sqrt{2}}{2}\tan{x} \)とおく。また\( \alpha \)を,\( \tan{\alpha}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)を満たす角\( (0<\alpha< \frac{\pi}{2}) \)とする。すると\( \displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{\cos^2{x}}\)より求める積分は

\( \displaystyle \int_{0}^{\alpha} \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{\cos^2{x}}dx}{2(\frac{\sqrt{2}}{2}\tan{x})^2+1}=\int_{0}^{\alpha} \frac{\sqrt{2}}{2} dx=\frac{\sqrt{2}}{2}\alpha\)

\( \alpha= \arctan{\frac{\sqrt{6}}{3}}\)なので求める答えは

\( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\arctan{\frac{\sqrt{6}}{3}}\)

ほぼ高校範囲で解けるのですが最後の部分だけ大学レベルです。なお,最後まで完全に高校範囲で解ける積分も作れます。(パターンが少なすぎて全パターン網羅されている気がします)

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