今週の問題 問39 答え

上野竜生です。問39の答えを発表します。

問39

関数f(x)とg(x)を次のように定める。
・\(\displaystyle f(x)=\frac{5}{9}x^2 – \frac{10}{3}|x|+29 \)
g(x)=f(x) (-6≦x≦6)
g(x)=「点(6,f(6))と(65,0)を通る直線」 (6≦x≦65)
g(x)=「点(-6,f(-6))と(-65,0)を通る直線」 (-65≦x≦-6)
このとき\(\displaystyle \int_{-65}^{65} g(x)dx \)を求めよ。

答え

f(x)=f(-x)が成り立つので偶関数であり,求めるものは
\( \displaystyle \int_{-65}^{65} g(x)dx=2\int_0^{65} g(x)dx =2\int_0^6 f(x)dx + 2\int_6^{65} g(x)dx \)

x≧0のときf(x)の右辺の絶対値はそのまま外れるので

\(\displaystyle \int_0^6 f(x)dx \\
=\displaystyle \int_0^6 \frac{5}{9}x^2-\frac{10}{3}x+29 dx \\
=\displaystyle \left[\frac{5}{27}x^3-\frac{5}{3}x^2 +29x \right]_0^6\\
=40-60+174\\=154 \)

6≦x≦65の部分は直角三角形の面積。f(6)=20-20+29=29なので

\(\displaystyle \int_6^{65} g(x)dx = \frac{1}{2} \cdot 29 \cdot (65-6)=\frac{1711}{2} \)

よって求める積分は

\(\displaystyle 2\cdot 154+2\cdot \frac{1711}{2}=308+1711=2019\)

ちなみにy=g(x)のグラフは下の通りです。(上側の緑の太線部分)
富士山

ちょっとだけ(富士)山っぽくしてみました。絵心ないですね(笑)

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