上野竜生です。問38の答えを発表します。

問38

xが実数全体を動くとき\( \displaystyle 3^x+2^x+\frac{1}{2^x}+\frac{1}{3^x} \)の最小値を求めよ。

 

答え

各項はすべて正なので相加相乗平均の関係より

\( \displaystyle 3^x+\frac{1}{3^x} \geq 2\sqrt{3^x \cdot \frac{1}{3^x}}=2 \)

\( \displaystyle 2^x+\frac{1}{2^x} \geq 2\sqrt{2^x \cdot \frac{1}{2^x}}=2 \)

よって

\( \displaystyle 3^x+2^x+\frac{1}{2^x}+\frac{1}{3^x} \geq 4\)

x=0のとき等号が成立するから最小値は4

 

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