今週の問題 問37 答え

上野竜生です。問37の答えを発表します。

問37

pq+qr+rp=1111を満たす素数の組(p,q,r)をすべて求めよ。
p≦q≦rを満たすものだけで良い。

答え

【方針】素数は小さいほうから2,3,5,7,・・・となる。また2,3以外の素数はすべて6で割ると余りは1または5であることを使う。

p=2, q=2のとき

4+2r+2p=1111となるが左辺は偶数,右辺は奇数より不適。

p=2, q=3のとき

6+3r+2r=1111 ∴r=221=13×17 となり素数でないので不適。

p=2, q≧5のとき

2q+qr+2r=1111

(q+2)(r+2)=1115=5×223

q+2≧7なのでこれを満たす(q+2,r+2)の組は存在せず不適。

p=3, q=3のとき

9+3r+3r=1111

左辺は3の倍数,右辺は3で割ると1余るので不適。

p=3, q≧5のとき

3q+qr+3r=1111

(q+3)(r+3)=1120=25・5・7 より

q+3≧8, q+3≦r+3を満たす組は

(q+3,r+3)=(8,140),(10,112),(14,80),(16,70),(20,56),(28,40),(32,35)

よって(q,r)=(5,137),(7,109),(11,77),(13,67),(17,53),(25,37),(29,32)

このうちqまたはrが素数でないものを除外すると

(q,r)=(5,137),(7,109),(13,67),(17,53)

これらは条件を満たす。

p≧5のとき

5以上の素数は6で割ると余りが1,5のどれかである。

Xを6で割った余り Yを6で割った余り XYを6で割った余り
1 1 1
1 5 5
5 1 5
5 5 1

であることに注意する。

p,q,rすべてが6で割った余り1のとき pq+qr+rpを6で割った余りは3

p,q,rのうち2つが余り1, 1つが余り5のときpq+qr+rpを6で割った余りは5

p,q,rのうち2つが余り5, 1つが余り1のときpq+qr+rpを6で割った余りは5

p,q,rすべてが6で割った余り5のとき pq+qr+rpを6で割った余りは3

となるのでpq+qr+rpを6で割った余りは1にはならない。

1111を6で割ると余りは1なのでp≧5のとき不適。

以上より答えは

(p,q,r)=(3,5,137),(3,7,109),(3,13,67),(3,17,53)

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