上野竜生です。問34の答えを発表します。

問34

初項a,公比rの等比数列{an}が等差数列にもなるとき,a,rについての必要十分条件を求めよ。

 

答え

必要条件

a1,a2,a3が等差数列になる(a1+a3=2a2が成り立つ)ことが必要。

よってa+ar2=2ar

整理するとa(r2-2r+1)=0

よってa=0またはr=1であることが必要。

十分条件

a=0のとき、an=0・rn-1=0なので初項0,公差0の等差数列である。

r=1のとき、an=a・1n-1=aなので初項a,公差0の等差数列である。

よって必要十分条件はa=0またはr=1であること。

 

かなり簡単な部類だと思いますが,必要条件から攻めるという基本事項を確かめるのに良い問題だと思います。

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