今週の問題 問32 答え

上野竜生です。問32の答えを発表します。

問32

x4+x2+s=0・・・(*)とする。
(*)のすべての解αに対しx=α2も(*)の解になるとき,定数sの値をすべて求めよ。

(できれば必要十分であることの証明もあったほうがいいです・・・)

答え 以下ではf(x)=x4+x2+sとおく。

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s=0,1,-1以外は不適であることの証明

x=αが(*)の解ならばx=α2も(*)の解である。

繰り返すとx=α4816も(*)の解である。

解と係数の関係より(*)の4つの解の積はsである。

|s|≠0,1ならば(*)の解のうち絶対値が0でも1でもないものが存在する。(対偶を考えれば明らか)それをαとするとα,α24816のどの2つも絶対値が異なるのでこの5つの値はすべて異なる。4次方程式は異なる解を最大で4つしかもたないので不適。

よって|s|=0,1のどちらか。つまりs=0,1,-1のどれかである。

s=0のとき

(*)はx4+x2=0なので解は0,i,-iである。

i2=-1が(*)の解ではないので不適。

s=1のとき

f(α)=0ならばf(α2)=0を示せば良い。

x8+x4+1=(x4+x2+1)(x4-x2+1)と因数分解できるので
f(α2)=f(α)(α42+1)となり,s=1は適。

s=-1のとき

x4+x2-1=0の解を求める。

A=x2とおくとA2+A-1=0。この解は\(\displaystyle A=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2} \)となり|A|≠0,1

ゆえに解の絶対値は0でも1でもないので最初の議論と同様にして不適。

以上より条件を満たす定数sはs=1のみ。

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