上野竜生です。問31の答えを発表します。
問31
\(\displaystyle \sin{x}=\frac{\sqrt{2}}{4} \)を満たす\(\displaystyle x \left(0<x<\frac{\pi}{2}\right)\)を\( \alpha \)とするとき，
\( \displaystyle \frac{\pi}{9}<\alpha<\frac{\pi}{8} \)であることを証明せよ。
答え
\( \alpha<\frac{\pi}{8} \)の証明
\(\displaystyle \sin^2{\frac{\pi}{8}}=\frac{1-\cos{\frac{\pi}{4}}}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}\)より
\( \displaystyle \sin{\frac{\pi}{8}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\)
よって\( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}<\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \)を示せばよい。両辺正より，両辺を4倍してから(右辺)2-(左辺)2を計算すると
\( 4(2-\sqrt{2})-2=6-4\sqrt{2}>0 \)
となるので成立。
\( \alpha>\frac{\pi}{9} \)の証明
\( 3\alpha>\frac{\pi}{3} \)を示せば良い。3倍角の公式より
\( \sin{3\alpha}=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha} = \frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{8}=\frac{5\sqrt{2}}{8} \)
\( \sin{3\alpha}>\sin{\frac{\pi}{3}} \)，つまり\( \frac{5\sqrt{2}}{8}>\frac{\sqrt{3}}{2} \)を示せば良い。
\( \frac{50}{64}>\frac{3}{4}=\frac{48}{64} \)より成立。
よって題意は成立。
（おまけ）\( \alpha>\frac{\pi}{9} \)を示す方法で\( \alpha<\frac{\pi}{8} \)を示す。
\( 2\alpha < \frac{\pi}{4} \)を示す。
\( \sin{\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{4} , \cos{\alpha}=\frac{\sqrt{14}}{4}\)より
\( \sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{7}}{4}<\frac{\sqrt{8}}{4}=\sin{\frac{\pi}{4}} \)より成立。
正解者1名（kuheiya さま）
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