今週の問題 問31 答え

上野竜生です。問31の答えを発表します。

問31

\(\displaystyle \sin{x}=\frac{\sqrt{2}}{4} \)を満たす\(\displaystyle x \left(0<x<\frac{\pi}{2}\right)\)を\( \alpha \)とするとき,
\( \displaystyle \frac{\pi}{9}<\alpha<\frac{\pi}{8} \)であることを証明せよ。

答え

スポンサーリンク

\( \alpha<\frac{\pi}{8} \)の証明

\(\displaystyle \sin^2{\frac{\pi}{8}}=\frac{1-\cos{\frac{\pi}{4}}}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}\)より

\( \displaystyle \sin{\frac{\pi}{8}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\)

よって\( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}<\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \)を示せばよい。両辺正より,両辺を4倍してから(右辺)2-(左辺)2を計算すると

\( 4(2-\sqrt{2})-2=6-4\sqrt{2}>0 \)

となるので成立。

\( \alpha>\frac{\pi}{9} \)の証明

\( 3\alpha>\frac{\pi}{3} \)を示せば良い。3倍角の公式より

\( \sin{3\alpha}=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha} = \frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{8}=\frac{5\sqrt{2}}{8} \)

\( \sin{3\alpha}>\sin{\frac{\pi}{3}} \),つまり\( \frac{5\sqrt{2}}{8}>\frac{\sqrt{3}}{2} \)を示せば良い。
\( \frac{50}{64}>\frac{3}{4}=\frac{48}{64} \)より成立。

よって題意は成立。

(おまけ)\( \alpha>\frac{\pi}{9} \)を示す方法で\( \alpha<\frac{\pi}{8} \)を示す。

\( 2\alpha < \frac{\pi}{4} \)を示す。

\( \sin{\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{4} , \cos{\alpha}=\frac{\sqrt{14}}{4}\)より

\( \sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{7}}{4}<\frac{\sqrt{8}}{4}=\sin{\frac{\pi}{4}} \)より成立。

\( \sin{\frac{\pi}{8}} \)は計算できますが\( \sin{\frac{\pi}{9}} \)は計算できません。(正確には3次方程式の解の公式を使えば出せますが・・・因数分解できないタイプなので現実的には不可能です)

数学はもちろん他の科目も勉強できる「スタディサプリ」なら人気講師の授業動画で、塾にいかなくてもまるで塾にいったかのような勉強ができます。塾と比較すると格安で、しかも無料おためしもできます。当サイトオススメのサイトです。


スタディサプリについて解説したページはこちら
スポンサーリンク

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする