上野竜生です。問30の答えを発表します。
問30
m,nを整数とする。\( \log_2{(2^m+2^n)} \)が整数ならばm=nであることを証明せよ。
答え
m>nまたはm<nならば\( \log_2{(2^m+2^n)} \)が整数ではないことを示す。
m>nのとき
\(\log_2{(2^m)}< \log_2{(2^m+2^n)} < \log_2{(2^m+2^m)} \)より
\( m< \log_2{(2^m+2^n)}<m+1 \)
m，m+1は連続する整数だから\( \log_2{(2^m+2^n)} \)は整数ではない。
m<nのときも同様。
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