上野竜生です。問30の答えを発表します。

問30

m,nを整数とする。\( \log_2{(2^m+2^n)} \)が整数ならばm=nであることを証明せよ。

 

答え

m>nまたはm<nならば\( \log_2{(2^m+2^n)} \)が整数ではないことを示す。

m>nのとき

\(\log_2{(2^m)}< \log_2{(2^m+2^n)} < \log_2{(2^m+2^m)} \)より

\( m< \log_2{(2^m+2^n)}<m+1 \)

m,m+1は連続する整数だから\( \log_2{(2^m+2^n)} \)は整数ではない。

m<nのときも同様。

 

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