今週の問題 問3答え

上野竜生です。問3の答えを発表します。

問3

\( \sqrt{n^2+2017n} \)の小数部分を\(a_n\)とする。\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n\)を求めなさい。

答え

\( n>1008^2 \)のとき
\( n+1008<\sqrt{n^2+2017n}<n+1009 \)

両辺2乗すると\( n^2+2016n+1008^2 < n^2+2017n < n^2+2018n+1009^2 \)
各辺から\( n^2+2017n\)をひくと\( -n+1008^2<0<n+1009^2\)が成立します。
むしろここから\(n>1008^2\)という範囲を後で求めています。

よって\( \sqrt{n^2+2017n}\)の整数部分は\(n+1008\)

\( a_n = \sqrt{n^2+2017n}-(n+1008) \hspace{ 20pt } (n>1008^2)\)

\( \displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n
\\\displaystyle  = \lim_{n \to \infty}\sqrt{n^2+2017n}-(n+1008)
\\\displaystyle =\lim_{n \to \infty} \frac{(n^2+2017n)-(n+1008)^2}{\sqrt{n^2+2017n}+(n+1008)}
\\\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \frac{n-1008^2}{\sqrt{n^2+2017n}+(n+1008)}
\\\displaystyle =\lim_{n\to \infty} \frac{1-\frac{1008^2}{n}}{\sqrt{1+\frac{2017}{n} }+1+\frac{1008}{n}}
\\\displaystyle =\frac{1}{2} \)

よって答えは\(\displaystyle \frac{1}{2}\hspace{ 10pt } (0.5)\)

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