今週の問題　問３答え｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

上野竜生です。問３の答えを発表します。

問３

$ \sqrt{n^2+2017n} $の小数部分を$a_n$とする。$\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n$を求めなさい。

答え

$ n>1008^2 $のとき
$ n+1008<\sqrt{n^2+2017n}<n+1009 $

両辺2乗すると$ n^2+2016n+1008^2 < n^2+2017n < n^2+2018n+1009^2 $
各辺から$ n^2+2017n$をひくと$ -n+1008^2<0<n+1009^2$が成立します。
むしろここから$n>1008^2$という範囲を後で求めています。

よって$ \sqrt{n^2+2017n}$の整数部分は$n+1008$

$ a_n = \sqrt{n^2+2017n}-(n+1008) \hspace{ 20pt } (n>1008^2)$

$ \displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n
\\\displaystyle = \lim_{n \to \infty}\sqrt{n^2+2017n}-(n+1008)
\\\displaystyle =\lim_{n \to \infty} \frac{(n^2+2017n)-(n+1008)^2}{\sqrt{n^2+2017n}+(n+1008)}
\\\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \frac{n-1008^2}{\sqrt{n^2+2017n}+(n+1008)}
\\\displaystyle =\lim_{n\to \infty} \frac{1-\frac{1008^2}{n}}{\sqrt{1+\frac{2017}{n} }+1+\frac{1008}{n}}
\\\displaystyle =\frac{1}{2} $

よって答えは$\displaystyle \frac{1}{2}\hspace{ 10pt } (0.5)$

正解者

0名

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学>