上野竜生です。問３の答えを発表します。
問３
答え
\( n>1008^2 \)のとき
\( n+1008<\sqrt{n^2+2017n}<n+1009 \)
各辺から\( n^2+2017n\)をひくと\( -n+1008^2<0<n+1009^2\)が成立します。
むしろここから\(n>1008^2\)という範囲を後で求めています。
よって\( \sqrt{n^2+2017n}\)の整数部分は\(n+1008\)
\( a_n = \sqrt{n^2+2017n}-(n+1008) \hspace{ 20pt } (n>1008^2)\)
\( \displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n
\\\displaystyle = \lim_{n \to \infty}\sqrt{n^2+2017n}-(n+1008)
\\\displaystyle =\lim_{n \to \infty} \frac{(n^2+2017n)-(n+1008)^2}{\sqrt{n^2+2017n}+(n+1008)}
\\\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \frac{n-1008^2}{\sqrt{n^2+2017n}+(n+1008)}
\\\displaystyle =\lim_{n\to \infty} \frac{1-\frac{1008^2}{n}}{\sqrt{1+\frac{2017}{n} }+1+\frac{1008}{n}}
\\\displaystyle =\frac{1}{2} \)
よって答えは\(\displaystyle \frac{1}{2}\hspace{ 10pt } (0.5)\)
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