今週の問題 問29 答え

上野竜生です。問29の答えを発表します。

問29

A地点からB地点に移動するのに図のような道を通って移動することを考える。
図のp,q,rと書かれたところはそれぞれ確率p,q,rで通ることが可能な道であり,2つにわかれているところ(pとqのところ)はどちらか片方でも通ることが可能であれば移動できるものとする。p+q+r=1であるとき,A地点からB地点まで移動可能である確率の最大値はいくらか?
問29の参考図

答え

(pまたはqが通れる確率)

=1-(pもqも通れない確率)

=1-(1-p)(1-q)

=p+q-pq

よってA地点からB地点まで移動可能である確率は

(p+q-pq)r

p+q+r=1という条件の下で(p+q-pq)rの最大値を求める。

(p+q-pq)r

≦(p+q)r=(1-r)r=\( -(r-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4} \)

\( \leq \frac{1}{4} \)

等号成立は\(p+q=r=\frac{1}{2} \)かつpq=0のとき

つまり\( (p,q,r)=(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}),(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \)

よって最大値は\( \frac{1}{4} \)

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