上野竜生です。問27の答えを発表します。

問27

x9をx3-x+2で割った余りを求めよ。

 

答え

実際に割り算してもいいですが・・・

 

x3-x+2=(x-α)(x-β)(x-γ)とする。(重解は持たない)

f(x)=x9とし、x9を(x-α)(x-β)(x-γ)で割った商をQ(x),余りをax2+bx+cとする。

するとα3-α+2=0⇔α3=α-2なので

f(α)=Q(α)(α3-α+2)+aα2+bα+c=2+bα+c9=(α3)3=(α-2)33-6α2+12α-8=(α-2)-6α2+12α-8=-6α2+13α-10

赤字部分だけ抜き出すと

2+bα+c=-6α2+13α-10

同様に

2+bβ+c=-6β2+13β-10

2+bγ+c=-6γ2+13γ-10

これらを連立させるとa=-6, b=13, c=-10

よって余りは-6x2+13x-10

最初の重解を持たない部分については
・微分して実数解が1個を示す。(→実数解1個+共役な複素数2個)
・γ=αと仮定して解と係数の関係を使って矛盾を示す。
・f(x)=x3-x+2とおきf'(x)=3x2-1とするときf(α)=f'(α)=0となるαが存在しないこと,つまりf'(α)=0ならばf(α)≠0を示す。
などいろいろできます。

 

 

 

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