上野竜生です。問25の答えを発表します。

問25

\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x-1} , g(x)=\frac{1}{x-2} \)とおく。
(1) \( f^{(n)}(0) \)を求めよ。つまりf(x)をn回微分したものにx=0を代入した値を求めよ。
(2) \(h(x)=f(x)g(x)\)とおく。\(h^{(n)}(0)\)を求めよ。

 

答え

(1) \( f^{(n)}(x)=(-1)^n n! (x-1)^{-(n+1)} \)であることを数学的帰納法で示す。
n=1のとき成立(省略)
n=kで成立すると仮定すると帰納法の仮定より
\( f^{(k)}(x)=(-1)^k k! (x-1)^{-(k+1)} \)
よってk+1回微分すると
\(f^{(k+1)}(x)=(-1)^{k+1} (k+1)! (x-1)^{-(k+2)} \)
となりn=k+1でも成立。

よって\( f^{(n)}(0)=(-1)^n  n! (-1)^{-(n+1)} = -n! \)

(2)同様にすると
\( g^{(n)}(x)=(-1)^n n! (x-2)^{-(n+1)} \)
\(\displaystyle  g^{(n)}(0)=-\frac{n!}{2^{n+1}} \)

\( h(x)=f(x)g(x)=g(x)-f(x) \)なので
\( h^{(n)}(x)=g^{(n)}(x)-f^{(n)}(x) \)

\(\displaystyle h^{(n)}(0)=g^{(n)}(0)-f^{(n)}(0)=n!\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)\)

赤字部分が重要でした。
なお,大学で習う二項定理のような微分の公式
\(\displaystyle (fg)^{(n)}= \sum_{k=0}^n {}_nC_{k} f^{(k)}g^{(n-k)} \)
を使うと次のようにも計算できます。

\(\displaystyle  g^{(n)}(0)=-\frac{n!}{2^{n+1}} \)までは同じ

\(\displaystyle h^{(n)}(0)=\sum_{k=0}^n {}_nC_k f^{(k)}(0)g^{(n-k)}(0) \\
\displaystyle =\sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} (-k!)\left(-\frac{(n-k)!}{2^{n-k+1}}\right)\\
\displaystyle =\sum_{k=0}^n \frac{n!}{2^{n-k+1}} \\
\displaystyle =n!\left(1-\frac{1}{2^{n+1}} \right) \)

 

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