今週の問題 問24 答え

上野竜生です。問24の答えを発表します。

問24

mは整数,xを実数とするときxCmを次のように定める。
\( \displaystyle {}_{x}C_{m}=\frac{x(x-1)(x-2) \cdots (x-m+1)}{m!} \)
このとき次の式がxの恒等式となるような定数a,b,c,d,e,fの値を定めよ。
\( x^5 = a {}_{x}C_{5} +b{}_{x}C_{4}+c{}_{x}C_{3}+d{}_{x}C_{2}+e{}_{x}C_{1}+f \)

答え

数値代入法

x=0を代入すると

0=f

x=1を代入すると

1=e+f ∴e=1

x=2を代入すると

32=d+2e+f ∴d=30

x=3を代入すると

243=c+3d+3e+f ∴c=150

x=4を代入すると

1024=b+4c+6d+4e+f ∴b=240

x=5を代入すると

3125=a+5b+10c+10d+5e+f ∴a=120

よって(a,b,c,d,e,f)=(120,240,150,30,1,0)

これらを代入して展開すれば恒等式だとわかる。

係数比較法

\( \displaystyle x^5= a \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{120} + b \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{24} + c\frac{x(x-1)(x-2)}{6}+ d \frac{x(x-1)}{2} + ex+f \)

両辺120倍すると

120x5= ax(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+5bx(x-1)(x-2)(x-3)+20cx(x-1)(x-2)+60dx(x-1)+120ex+120f

頑張って展開すると

120x5=a(x5-10x4+35x3-50x2+24x)+5b(x4-6x3+11x2-6x)+20c(x3-3x2+2x)+60d(x2-x)+120ex+120f
=ax5+(-10a+5b)x4+(35a-30b+20c)x3+(-50a+55b-60c+60d)x2+(24a-30b+40c-60d+120e)x+120f

係数比較すると明らかにa=120, f=0

-10a+5b=0 ∴b=2a=240

35a-30b+20c=0 ∴c=150

-50a+55b-60c+60d=0 ∴d=30

24a-30b+40c-60d+120e=0 ∴e=1

よって(a,b,c,d,e,f)=(120,240,150,30,1,0)

このほうが圧倒的に計算が大変です。

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