今週の問題 問23 答え

上野竜生です。問23の答えを発表します。

問23

整数の数列\( a_n, b_n, c_n \)を
\( (1+\sqrt[3]{2})^n = a_n + b_n \sqrt[3]{2}+c_n\sqrt[3]{4} \)で定める。

(1) 整数の数列\(d_n,e_n,f_n\)を
\( (1+\sqrt[3]{2}\omega)^n = d_n + e_n \sqrt[3]{2}\omega + f_n \sqrt[3]{4}\omega^2 \)
で定めるとき
\( a_n=d_n , b_n=e_n , c_n=f_n \)
が成立することを示せ。ただし\( \omega \)は1の3乗根のうち1でないものの1つとする。
(2) \( a_n\)の一般項を求めよ。

答え

(1)数学的帰納法で示す。n=1のとき

\( a_1=b_1=1 , c_1=0 , d_1=e_1=1, f_1=0\)

より成立。n=kで成立すると仮定するとn=k+1のとき

\( (1+\sqrt[3]{2})^{k+1} \\
=(1+\sqrt[3]{2})^k (1+\sqrt[3]{2})\\
=(a_k+b_k \sqrt[3]{2} +c_k \sqrt[3]{4})(1+\sqrt[3]{2})\\
=a_k+b_k\sqrt[3]{2}+c_k \sqrt[3]{4}+a_k\sqrt[3]{2}+b_k\sqrt[3]{4}+2c_k\\
=(a_k+2c_k)+(a_k+b_k)\sqrt[3]{2}+(b_k+c_k)\sqrt[3]{4} \)

となり

\( a_{k+1}=a_k+2c_k , \\
b_{k+1}=a_k+b_k, \\
c_{k+1}=b_k+c_k \)

一方で

\( (1+\sqrt[3]{2}\omega)^{k+1} \\
=(1+\sqrt[3]{2}\omega)^k (1+\sqrt[3]{2}\omega)\\
=(d_k+e_k \sqrt[3]{2}\omega +f_k \sqrt[3]{4}\omega^2)(1+\sqrt[3]{2}\omega)\\
=d_k+e_k\sqrt[3]{2}\omega+f_k \sqrt[3]{4}\omega^2+d_k\sqrt[3]{2}\omega+e_k\sqrt[3]{4}\omega^2+2f_k\\
=(d_k+2f_k)+(d_k+e_k)\sqrt[3]{2}\omega+(e_k+f_k)\sqrt[3]{4}\omega^2 \)

となり

\( d_{k+1}=d_k+2f_k , \\
e_{k+1}=d_k+e_k, \\
f_{k+1}=e_k+f_k \)

帰納法の仮定より\( a_k=d_k , b_k=e_k , c_k=f_k\)であるから
\( a_{k+1}=d_{k+1} , b_{k+1}=e_{k+1} , c_{k+1}=f_{k+1} \)が成立する。

(2)

(1)より

\( (1+\sqrt[3]{2})^n = a_n + b_n \sqrt[3]{2}+c_n\sqrt[3]{4} \)

\( (1+\sqrt[3]{2}\omega)^n = a_n + b_n \sqrt[3]{2}\omega+c_n\sqrt[3]{4}\omega^2 \)

(1)と同様にすると

\( (1+\sqrt[3]{2}\omega^2)^n = a_n + b_n \sqrt[3]{2}\omega^2+c_n\sqrt[3]{4}\omega^4 \)

これらの3つの式を加えると

\( (1+\sqrt[3]{2})^n+(1+\sqrt[3]{2}\omega)^n+(1+\sqrt[3]{2}\omega^2)^n=3a_n \)

(\(∵ \omega^2+\omega+1=0 , \omega^4+\omega^2+1=0\))

よって

\(\displaystyle a_n=\frac{(1+\sqrt[3]{2})^n+(1+\sqrt[3]{2}\omega)^n+(1+\sqrt[3]{2}\omega^2)^n}{3} \)

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