今週の問題 問21 答え

上野竜生です。問21の答えを発表します。

問21

f(x)=x7-14x2+2018とする。f(x)=0のすべての解(複素数解も含む)は絶対値が2.8より大きく3より小さいことを証明せよ。ただしf(-2.8)>0は証明なしで用いて良い。

答え

f(-3)=-295<0 , f(-2.8)>0より中間値の定理から-3<x<-2.8に1つ実数解が存在する。

また問20 アよりf(x)=0の実数解は1個だけなので実数解はすべて絶対値が2.8より大きく3より小さいことがわかる。

複素数解の絶対値が3より小さいことの証明

x7-14x2+2018=0よりx7=14x2-2018

両辺に絶対値をつけ,三角不等式を用いると

|x|7=|14x2-2018|≦14|x|2+2018

r=|x|とおくとr7-14r2-2018≦0を満たす。

よってr<3となり絶対値は3より小さい。

g(r)=r7-14r2-2018とする。g(r)≦0⇒r<3の対偶
r≧3⇒g(r)>0を示す。
g(3)=43>0
g'(x)=7r6-28r=7r(r5-4)>0よりr≧3で単調増加
よって対偶は真

複素数解の絶対値が2.8より大きいことの証明

実数係数多項式なので\( \alpha\)が解ならば共役複素数\( \bar{\alpha} \)も解である。

f(x)=0の実数解をR,複素数解を\( \alpha, \bar{\alpha} , \beta , \bar{\beta} , \gamma , \bar{\gamma} \)とする。このときαからγの中で絶対値が1番小さいものをαとしても一般性を失わない。

解と係数の関係より\( R \alpha \bar{\alpha} \beta \bar{\beta} \gamma \bar{\gamma} =-2018 \)

絶対値をつけると

\( |R| |\alpha|^2 |\beta|^2 |\gamma|^2 =2018 \)

\( |R|<3 , |\beta|<3 , |\gamma|<3 \)より\(\displaystyle  |\alpha|^2 > \frac{2018}{3^5}>8>2.8^2 \)
となるから\( |\alpha|>2.8 \)となる。

よってすべての解は絶対値が2.8より大きく3より小さい。

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