今週の問題 問2答え

上野竜生です。問2の答えを発表します。

問2

「1」「2」「3」「4」の4つの数字を並べ替えてできる4ケタの整数は24個ある。これらの2乗の和をAとする。つまり、\( A=1234^2+1243^2+1324^2+\cdots +4321^2 \)
「5」「2」「3」「4」の4つの数字を並べ替えてできる4ケタの整数は24個ある。これらの2乗の和をBとする。\( \displaystyle \frac{B-A}{1111^2} \)の値を求めなさい。

答え

「1」「2」「3」「4」を並べ替えてできる24個の整数の集合をA’、

「2」「3」「4」「5」を並べ替えてできる24個の整数の集合をB’とする。

A’の要素xに対し、x+1111はB’の要素。

また逆にB’の要素xに対し、x-1111はA’の要素となっている。

\( (x+1111)^2-x^2=2222x+1111^2 \)であることを利用するとB-AはA’の要素xに対し\(2222x+1111^2\)の和を計算すれば良い。

よってA’の要素の和をCとすると求める答えは\( \displaystyle \frac{2222C+24 \cdot 1111^2}{1111^2}=\frac{2}{1111}C+24 \)である。

Cを計算する。

Cの一の位が「1」であるものが6個、「2」「3」「4」も6個ずつなので1の位の和は

\((1+2+3+4)\cdot 6\)

十の位、百の位、千の位も同様にして

\((1+2+3+4)\cdot 6 \cdot 10\)

\((1+2+3+4)\cdot 6 \cdot 100\)

\((1+2+3+4)\cdot 6 \cdot 1000\)

となるから

\(C=(1+2+3+4) \cdot 6 \cdot 1111 =60 \cdot 1111\)

よって求める答えは

\( \displaystyle \frac{2}{1111}C+24 = 120+24=144 \)

【参考】
A=213208980,B=390951204
C(=「6」「2」「3」「4」にして同様の結果)=465689790
\( \displaystyle \frac{C-A}{1111^2}=204.5503 \cdots \)

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