今週の問題 問19 答え

上野竜生です。問19の答えを発表します。

問19

一定の確率pで当たるガチャがある。
ガチャを引き続けるとき,最初に当たるまでにガチャを引く回数の期待値は100回であるという。
今,このガチャを80回回したが当たりは出なかった。
この状態から最初にあたりが出るまでにガチャを引く回数の期待値は何回か?(問題文の”80回”はカウントしない)

答え

数学が得意ならある程度明らか(というより直感)で答えは100回だとわかるはずです。もちろんそれで正解です。

ガチャを回して結果がハズレだとわかってしまったことがこの問題のポイントです。最初のガチャに当たりの可能性はもうありません。結局ふりだしに戻ってるのです。

最初の状態と「80回引いたけどすべてはずれの状態」はどちらも当たりが0回の状態でそこから1回当てることには変わりありませんので最初の状態→1回あたりの期待値が100回なら「80回引いたけどすべてはずれの状態」→1回あたりの期待値も100回です。

ですが「条件付期待値」という公式を用いて計算することもできるのでそれで計算してみましょう。

まずはpを求める。

n回目で最初の当たりを引くためには最初のn-1回はハズレで,n回目であたりを引かないといけないので

$$ (1-p)^{n-1} p $$

よって最初の当たりを引くまでのガチャの回数の期待値は

\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n (1-p)^{n-1}p=\frac{1}{p}=100\)

より\( p=\frac{1}{100} \)

無限級数の求め方は割愛しますが実はこのΣ計算ができなくてもこの問題は答えられます。pの値が理解できなくても次へ読み進めてみてください。

条件付期待値の公式

通常の期待値と同様,確率変数の値がnとなる確率がpnのときの期待値は

\( \sum_{n} n p_n \)

であることに間違いはないのですが条件付期待値の場合pnが条件付確率になるだけです

つまり,最初の80回がはずれだとわかっている条件の下でそこからn回目で最初の当たりをひく条件付確率は

\( \displaystyle \frac{(1-p)^{80} \cdot (1-p)^{n-1} p}{(1-p)^{80}}=(1-p)^{n-1}p \)となり結局最初の式と一致してしまいます。よって条件付期待値は

\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n (1-p)^{n-1}p=\frac{1}{p}=100\)

となり,答えは100回となります。

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