今週の問題 問16 答え

上野竜生です。問16の答えを発表します。

問16

およその面積参考図
「およその面積」を次のように定義する。
領域Dn,m={(x,y)| x,yは実数 n<x<n+1 , m<y<m+1} (n,mは整数)
Dn,mが「面積を求めたい領域」に完全に含まれていればその部分の面積を1
Dn,mが「面積を求めたい領域」に完全ではないが一部含まれていればその部分の面積を0.5
Dn,mが「面積を求めたい領域」に全く含まれていなければその部分の面積を0
とし,それらの合計を「およその面積」とする。

放物線y=x(x-101)とx軸で囲まれる部分の「およその面積」はいくらか?

答え

f(x)=101x-x2とおく(問題の関数と符号を逆にしています)

すべての整数nに対しf(n)は整数である。

n=0,1,2,3,・・・,100についてDn,mの面積を求めればよい。

f(x)は0≦x≦50までは単調増加だからn=0,1,2,・・・,49については

n<x<n+1の部分の「およその面積」は

1×f(n)+0.5×(f(n+1)-f(n))=0.5×(f(n)+f(n+1))

n=50について

50<x<51の部分は2550=f(50)=f(51)<f(50.5)=2550.25より

「およその面積」は1×f(50)+0.5×1=0.5×(f(n)+f(n+1))+0.5

n=51,52,・・・,100については単調減少だから

「およその面積」は

1×f(n+1)+0.5×(f(n)-f(n+1))=0.5×(f(n)+f(n+1))

以上より求める値は

\( \displaystyle 0.5+\sum_{n=0}^{100} 0.5\times \left( f(n)+f(n+1) \right) \\
\displaystyle = 0.5+ 0.5 \times(f(0)+f(101))+ \sum_{n=1}^{100} f(n)\\
\displaystyle = 0.5+ \sum_{n=1}^{100} 101n-n^2 \\
=\displaystyle 0.5+ \frac{1}{2}  101\cdot 100 \cdot 101 – \frac{1}{6} 100 \cdot 101 \cdot 201\\
=0.5+ 101\cdot 50 \cdot 101- 101\cdot 50 \cdot 67\\
=0.5+ 5050\cdot 34\\=171700.5 \)

1行目:頂点のところの0.5を忘れないように最初に足しています。
2行目→3行目:f(0)=f(101)=0を使っています。

[参考]本当の面積は1/6公式を使うと
\( \frac{1}{6} 101^3=171716.8333\cdots \)

数学はもちろん他の科目も勉強できる「スタディサプリ」なら人気講師の授業動画で、塾にいかなくてもまるで塾にいったかのような勉強ができます。塾と比較すると格安で、しかも無料おためしもできます。当サイトオススメのサイトです。


スタディサプリについて解説したページはこちら
スポンサーリンク

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする