今週の問題 問15 答え

上野竜生です。問15の答えを発表します。

問15

x,yを有理数とする。

x2+y2=7であることはx3+y3=7であるための(  )。

①必要十分条件である
②必要条件であるが十分条件ではない
③十分条件であるが必要条件ではない
④必要条件でも十分条件でもない

答え  ③

x3+y3=7⇒x2+y2=7は偽。

[反例]:x=2 , y=-1

x2+y2=7⇒x3+y3=7は真。

[証明]x2+y2=7を満たす有理数x,yが存在すると仮定する。(存在しないことを背理法で示す)

\( x=\frac{a}{b} , y=\frac{c}{d} \)とおく。(a,bは互いに素。c,dも互いに素)

L=bとdの最小公倍数とする。

\( x^2+y^2=7 \\ ⇔\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{c}{d}\right)^2=7\)

両辺をL2倍すると,整数A,Bを用いてA2+B2=7L2とかける。

(\( x=\frac{A}{L}, y=\frac{B}{L} \)となっていることに注意)

右辺は7の倍数なので左辺も7の倍数。よってA,Bはともに7の倍数。

(∵↓の表よりA,Bを7で割った余りが(0,0)以外ではA2+B2を7で割った余りは0にならない)

Aを7で割った余り A2を7で割った余り
0 0
1 1
2 4
3 2
4 2
5 4
6 1

すると左辺は49の倍数だからLは7の倍数。

\( x=\frac{A}{L} ,y=\frac{B}{L}\)でありA,B,Lはすべて7の倍数

するとL=7kとおける。するとkもb,dの公倍数である。これはLが最小公倍数であることに矛盾。よってx2+y2=7を満たす有理数x,yは存在しない。

命題pが偽のとき命題p⇒qは真だから題意は示せた。(対偶命題を考えても良い)

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