上野竜生です。問15の答えを発表します。
問15
x,yを有理数とする。
x2+y2=7であることはx3+y3=7であるための（ ）。
①必要十分条件である
②必要条件であるが十分条件ではない
③十分条件であるが必要条件ではない
④必要条件でも十分条件でもない
答え ③
x3+y3=7⇒x2+y2=7は偽。
[反例]：x=2 , y=-1
x2+y2=7⇒x3+y3=7は真。
[証明]x2+y2=7を満たす有理数x,yが存在すると仮定する。（存在しないことを背理法で示す）
\( x=\frac{a}{b} , y=\frac{c}{d} \)とおく。(a,bは互いに素。c,dも互いに素）
L=bとdの最小公倍数とする。
\( x^2+y^2=7 \\ ⇔\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{c}{d}\right)^2=7\)
両辺をL2倍すると，整数A,Bを用いてA2+B2=7L2とかける。
（\( x=\frac{A}{L}, y=\frac{B}{L} \)となっていることに注意）
右辺は7の倍数なので左辺も7の倍数。よってA,Bはともに7の倍数。
（∵↓の表よりA,Bを7で割った余りが(0,0)以外ではA2+B2を7で割った余りは0にならない）
| Aを7で割った余り | A2を7で割った余り |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 2 |
| 4 | 2 |
| 5 | 4 |
| 6 | 1 |
すると左辺は49の倍数だからLは7の倍数。
\( x=\frac{A}{L} ,y=\frac{B}{L}\)でありA,B,Lはすべて7の倍数
するとL=7kとおける。するとkもb,dの公倍数である。これはＬが最小公倍数であることに矛盾。よってx2+y2=7を満たす有理数x,yは存在しない。
命題pが偽のとき命題p⇒qは真だから題意は示せた。（対偶命題を考えても良い）
正解者
1名 (きょこぴー さま)
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