今週の問題 問12 答え

上野竜生です。問12の答えを発表します。

問12

3p+7q+25r=2018を満たす素数の組(p,q,r)をすべて求めよ。

答え

p,q,rがすべて奇数だと和も奇数になるためp,q,rの少なくとも1つは偶数である。

同様にしてp,q,rのうち2つ偶数,1つ奇数の場合も排除される。

p,q,rがすべて偶数のとき,偶数の素数は2のみだからp=q=r=2

しかしこれは3p+7q+25r=2018を満たさないので不適。

以上よりp,q,rのうち1つのみが偶数であり,その値は2である。

q=2のとき

3p+25r=2004

3p,2004は3の倍数だから25rも3の倍数であり,rは3の倍数。

3の倍数の素数は3のみだからr=3

これを代入するとp=643(素数)

よって(p,q,r)=(643,2,3)

r=2のとき

3p+7q=1968

同様に3で割った余りを考えることでq=3,p=649が得られる。

649=59×11より素数ではない。よって不適。

p=2のとき

7q+25r=2012

不定方程式7q+25r=2012の一般解は(q,r)=(16+25k,76-7k)である。q≧3,r≧3よりk=0,1,2,・・・,10である。rの式(76-7k)にk=0,1,2,・・・,10を代入すると

r=76,69,62,55,48,41,34,27,20,13,6

この中でrが素数なのはr=41(k=5)とr=13(k=9)のみである。

k=5,9を(q,r)の式に代入すると

(q,r)=(141,41),(241,13)

141=47×3より素数ではない。241は素数である。

以上より答えは(p,q,r)=(643,2,3),(2,241,13)

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