今週の問題 問11 答え

上野竜生です。問11の答えを発表します。

問11

\( \displaystyle f(x)=x^{-\frac{\log{10}}{\log{7}}} \)とする。\( \displaystyle \frac{\int_7^{49} f(x)dx}{\int_1^7 f(x)dx} \)の値を求めよ。

答え

\( \displaystyle \frac{\log{10}}{\log{7}}=\log_7{10} \)より

(分母)=\( \displaystyle \int_1^7 x^{-\log_7{10}} dx=\left[\frac{1}{1-\log_7{10}} x^{-\log_7{10}+1}\right]_1^7 \)

\( \displaystyle \frac{1}{1-\log_7{10}}=\alpha \)とおくと(α<0)

(分母)=\(\displaystyle \alpha(7^{-\log_7{10}+1}-1^{-\log_7{10}+1})=\alpha\left(\frac{7}{10}-1\right)=-\frac{3}{10}\alpha \)

同様にして分子を計算すると

(分子)=\(\displaystyle \alpha(49^{-\log_7{10}+1}-7^{-\log_7{10}+1})=\alpha\left(\frac{49}{100}-\frac{7}{10} \right)=-\frac{21}{100}\alpha \)

よって求める分数は

\( \displaystyle \frac{-\frac{21}{100}\alpha}{-\frac{3}{10}\alpha}=\frac{7}{10} \)

微妙に大学レベルといっていたのは
xnの微分がnxn-1になるという事実がn:整数のとき(または有理数のとき)としか紹介していないことが多く,今回のような無理数に対して述べられていないこともあったからです。対数微分を使えば無理数乗でも成立することがわかります。

この関数はYouTubeなどでたまに広告として流れる「核攻撃サバイバー」の歌詞中に登場する「7の法則」で登場する関数です。

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