上野竜生です。問103の答えを発表します。

問103

[2013奈良県立医科大学]
次の等式がxの恒等式になるようなa,bを求めよ。
cosx+cos(a+x)+cos(b+x)=0
ただし0≦a≦π≦b≦2πとする。

 

答え

cosx+cosacosx-sinasinx+cosbcosx-sinbsinx
(1+cosa+cosb)cosx-(sina+sinb)sinx=0
これが恒等式だから少なくとも\(x=0,\frac{\pi}{2}\)のときも成立する必要がある。
x=0のとき
1+cosa+cosb=0・・・①
\(x=\frac{\pi}{2}\)のとき
sina+sinb=0・・・②
よって①②が必要。逆に①②のとき係数がすべて0だから恒等的に0となり十分である。
②よりb=a+π,2π-aを①に代入する。
b=a+πのとき①より
1+cosa+cos(a+π)=1=0となり不適。
b=2π-aのとき①より
1+cosa+cos(2π-a)=2cosa+1=0より\(a=\frac{2}{3}\pi\)(∵0≦a≦π)
よって\(a=\frac{2}{3}\pi , b=\frac{4}{3}\pi \)

 

 

 

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか?数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学> <大学数学> さらにオススメの塾、特にオンラインの塾についてまとめてみました。自分一人だけでは自信のない人はこちらも参考にすると成績が上がります。