上野竜生です。問10の答えを発表します。
問10
次の条件を満たす自然数の組\( (n,p_1,k_1,p_2,k_2,\cdots , p_n , k_n)\)はいくつあるか
- \( p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times \cdots \times p_n^{k_n}=1200\)
- 各piは素数
- 任意の自然数mに対しpm≦pm+1
- pm=pm+1ならばkm≧km+1
答え
1200=24×3×52であるから各pは2,3,5以外はありえない。
pm=3ならばkm=1でしかありえない。よってp=2,5の場合を調べる。
52=25を問題文の条件にあうように分割する方法は
52,51×51の2通り。
24=16を問題文の条件に合うように分割する方法は
24 , 23×21 , 22×22 , 22×21×21 , 21×21×21×21 の5通り。
よって1×2×5=10個が答え。
この問題は大学で習う有限生成アーベル群の基本定理(構造定理)の応用問題でよく使われる計算部分です。
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
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