上野竜生です。問10の答えを発表します。
問10
次の条件を満たす自然数の組\( (n,p_1,k_1,p_2,k_2,\cdots , p_n , k_n)\)はいくつあるか
- \( p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times \cdots \times p_n^{k_n}=1200\)
- 各piは素数
- 任意の自然数mに対しpm≦pm+1
- pm=pm+1ならばkm≧km+1
答え
1200=24×3×52であるから各pは2,3,5以外はありえない。
pm=3ならばkm=1でしかありえない。よってp=2,5の場合を調べる。
52=25を問題文の条件にあうように分割する方法は
52,51×51の2通り。
24=16を問題文の条件に合うように分割する方法は
24 , 23×21 , 22×22 , 22×21×21 , 21×21×21×21 の5通り。
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よって1×2×5=10個が答え。
この問題は大学で習う有限生成アーベル群の基本定理(構造定理)の応用問題でよく使われる計算部分です。
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