今週の問題 問10 答え

上野竜生です。問10の答えを発表します。

問10

次の条件を満たす自然数の組\( (n,p_1,k_1,p_2,k_2,\cdots , p_n , k_n)\)はいくつあるか

  • \( p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times \cdots \times p_n^{k_n}=1200\)
  • 各piは素数
  • 任意の自然数mに対しpm≦pm+1
  • pm=pm+1ならばkm≧km+1

答え

1200=24×3×52であるから各pは2,3,5以外はありえない。

pm=3ならばkm=1でしかありえない。よってp=2,5の場合を調べる。

52=25を問題文の条件にあうように分割する方法は
52,51×51の2通り。

24=16を問題文の条件に合うように分割する方法は
2,  23×2,  22×2,  22×21×2,  21×21×21×21 の5通り。

よって1×2×5=10個が答え。

この問題は大学で習う有限生成アーベル群の基本定理(構造定理)の応用問題でよく使われる計算部分です。

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