今週の問題 問1 答え

上野竜生です。問1の正解発表をします。

問1 問題

\( x^2-4x+2=0 \)の2つの解を\( \alpha , \beta \)とする。
\( g(\alpha)=\beta , g(\beta)=\alpha \)を満たす多項式\(g(x)\)を1つ求めなさい。

答え

\( x^2-4x+2=0 \)の2つの解は\( 2 \pm \sqrt{2} \)である。

\( \alpha = 2-\sqrt{2} , \beta=2+\sqrt{2} \)として一般性を失わない。

\( g(x) \)は0次式(定数関数)ではありえない

\( g(x) \)が1次式のとき、\( g(x)=ax+b \)とおくと

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} g(\alpha)=a(2-\sqrt{2})+b&=&2+\sqrt{2} \\ g(\beta)=a(2-\sqrt{2})+b&=&2-\sqrt{2} \end{array} \right.\end{eqnarray} \)

これを解くと、\( a=-1 , b=4 \)

よって求める答えは\( g(x)=-x+4 \)

よってこの問題の答えは「-x+4」ですが、もしすべて求めるとなったらどうするかというと・・・

\(g(x)\)を\(x^2-4x+2\)で割ったあまりを\(ax+b\)とおく。つまり、\( g(x)=P(x)(x^2-4x+2)+ax+b \)とおく。

\( g(\alpha)=a\alpha +b  ,  g(\beta)=a\beta +b \)なので上の議論と同様にして\(a=-1,b=4\)

よって求める答えは\( g(x)=P(x)(x^2-4x+2)-x+4 \)

「-x+4」以外の答えがあっているかどうかを判定するには求めた答えをg'(x)とし
g'(x)+x-4が\( x^2-4x+2 \)で割り切れるかを判定すればよい。

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