yで積分する図形の面積

上野竜生です。今回は図形の面積を積分で求めるもののうちyで積分するタイプを扱います。考え方はxのときと全く同じです。数IIのときは多項式なのでyで積分するメリットは全くありませんが数IIIになるとyで積分する方が楽なものもありますし何より次の回転体のことを考えると理解しておきたいポイントです。

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yで積分する面積

y=logx , y軸 , y=1 , y=2で囲まれる部分の面積を求めよ

①xで積分する

答えyで積分する面積
図より求める面積は
\(\displaystyle \int_0^e (2-1)dx + \int_e^{e^2} (2-\log{x})dx \\ \displaystyle = e+[2x-x\log{x}+x]_e^{e^2} \\ \displaystyle =e+3e^2 – 2e^2 – 3e + e =e^2-e \)

②yについて解いてyで積分する。

答え\( y=\log{x} \)より\( x=e^y \)だから
\(\displaystyle \int_1^2 e^y dy = [e^y]_1^2 = e^2-e \)

③yについて解かずにyで積分する

答え求める面積は
\(\displaystyle \int_1^2 x dy \)
ここで\(y=\log{x} \)なので\( y: 1\to 2 \)のとき\(x: e \to e^2 \)であり\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x} \)だから
\(\displaystyle \int_e^{e^2} x \cdot \frac{1}{x}dx = e^2-e \)

面積の場合はxで積分してもyで積分してもいいので①だけ理解すればいいですが次の回転体の体積を求める時は③の考えも使うことにもなりますので③も理解しておきましょう。

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