重複組み合わせは普通の組み合わせだけで計算せよ

上野竜生です。重複組み合わせの公式は覚えるものではありません!Hという記号は基本使わないので覚えなくてもいいでしょう。

重複組み合わせ

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とはいえ,一応定義は書いておきます。

nHr=n+r-1Cr

n個の中から重複を許してr個選ぶやり方です。

例題1 果物などを買う場合

りんご,みかん,バナナがたくさんある。この中から合わせて10個買う。
(1) りんご,みかん,バナナの数の決め方は何通りあるか。
(2) どの果物も最低1個は買う。数の決め方は何通りあるか。
答え(1) 考え方としては次の通りです。
「○」10個と「│」2個を並べる。
左端から最初の「|」までをりんご,
最初の「|」から次の「|」までをみかん
最後の「|」から右端までをバナナと考えればよい。
たとえば
○○|○○○○○|○○○ と並べた場合
🍎🍎|🍊🍊🍊🍊🍊|🍌🍌🍌,つまり
りんご2個,みかん5個,バナナ3個と考える。
このように考えると選び方は「○」10個,「│」2個の並べ方に等しく,12C2=66通り。
(2)先にりんご・みかん・バナナを1個ずつ買ってから残りの7個を決める
よって「○」7個「│」2個の並べ方に等しく9C2=36通り。

ちなみに「○」10個,「│」2個の並べ方の部分ですがこれはまず○を12個かき
その中から2か所を「|」に置き換えると考えます。12か所の中から2か所を選ぶやり方は12C2で計算できますね。

例題2 整数の個数の場合

果物に置き換えれば同じことです。

x+y+z=10を満たす整数について
(1)x≧0,y≧0,z≧0を満たす組(x,y,z)は何個あるか。
(2)自然数の組(x,y,z)は何個あるか。※自然数:1以上の整数

先ほどのりんご・みかん・バナナに置き換えて考えれば同じですね。

答え(1) ○10個,│2個を並べるやり方と等しく66通り。

(○○|○○○○○|○○○ と並べた場合

(x,y,z)=(2,5,3)と考える。)

(2) ○7個,│2個を並べるやり方と同じで36通り。
(○○○○○││○○)と並べた場合
(x’,y’,z’)=(5,0,2)と考え,1以上にするためにすべてに1を加えて(x,y,z)=(6,1,3)と考える。

このように考えればnHrなんて不要です。

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