図形が通過する領域の求め方

上野竜生です。tやaを動かしたとき直線や曲線が通過する領域の図示の仕方を紹介します。

図形が通過する領域

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アイデア

y=(tを含んだxの式)がある。tを実数全体で動かしたとき通過する領域を求めたい

→ tについて整理する。つまりtが変数,xもyも係数と思う。

→ tが実数であるという条件からx,yの条件を求める。

→ それを図示する。

x,yが定数でtが変数というのはここまでの数学に慣れた人だと先入観で気づきにくいと思いますがそれさえ気づけば意外と発想は簡単なのです。ただし実数tが存在する条件を求める部分は数Iの範囲とはいえ意外と難しいのでそのあとの考えも練習が必要です。

例題

y=x2+ax+a2・・・①について
(1) aが実数全体を動くとき①の動く領域をxy平面に図示せよ。
(2) aが0<a<1を動くとき①の動く領域をxy平面に図示せよ。
答え(1)
①を変形するとa2+xa+(x2-y)=0・・・②
aは実数だから判別式をDとするとD≧0
∴x2-4(x2-y)≧0
\( y\geq \frac{3}{4}x^2 \)
よって図示すると下の斜線部分。ただし境界は含む。
(1)の答え
(2)
②が0<a<1の範囲に解を持てばよい。
f(a)=a2+xa+(x2-y)とおく。
[1] 0<a<1に1つ解をもつとき
「f(0)f(1)<0」または「重解が0<a<1」
「(x2-y)(x2+x-y+1)<0」または「\(y=\frac{3}{4}x^2\)かつ\(0<\frac{-x}{2}<1\)」
[2] 0<a<1に2つ解をもつとき
(判別式)>0より\(y > \frac{3}{4}x^2 \)
0<(軸のx座標)<1より\(0<\frac{-x}{2}<1\),つまり-2<x<0
f(0)>0 , f(1)>0よりy<x2かつy<x2+x+1
以上[1][2]より求める領域は下の図の斜線部分
ただし境界は\(y=\frac{3}{4}x^2\)の-2<x<0の部分は含む。それ以外は除く。

(2)答え

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