三角形の五心 性質まとめ

上野竜生です。三角形の○心がからむ問題は問題文の中に直接条件式が書かれておらず「見えない性質」を使うことが多いです。そこでその「見えない性質」をまとめてみました。

三角形の五心の性質まとめ

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外心

外心

  • 各辺の垂直二等分線の交点
  • 外接円の半径は正弦定理から求める
  • 位置ベクトルは\( \displaystyle \frac{\sin{2A}\vec{a}+\sin{2B}\vec{b}+\sin{2C}\vec{c}}{\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}}\)
  • 角に関する性質は円周角の定理が使える

内心

内心

  • 角の二等分線の交点→角の二等分の性質が使える
<角の二等分の性質>
△ABCで角Aを二等分するように線を引き、BCとの交点をDとする。このとき
BD:CD=AB:AC
  • 位置ベクトルは\( \displaystyle \frac{a\vec{a}+b\vec{b}+c\vec{c}}{a+b+c}\)
  • 内接円の半径は三角形の面積を二通りのやりかたで出して求める。
  • 頂点Aから内心Iまでの距離はIからABに垂線を引いて求める。
    (垂線の足をHとするとIHは内接円の半径。AHも求めることができる。なぜならAから内接円の接点までの距離は等しいから)
例題 AB=3,BC=4,CA=5の三角形ABCについて内心をIとする。次を求めよ。
(1)AIとBCの交点をDとするとき,CDの長さ
(2)内接円の半径
(3)AIの長さ

答え(1) BD:CD=3:5よりCD=\(4 \cdot \frac{5}{8} = \frac{5}{2}\)

(2) 三角形ABCの面積は6。内接円の半径をrとすると△ABC=△AIB+△BIC+△CIA
\( 6=\frac{3}{2}r + 2r + \frac{5}{2}r = 6r \)

よってr=1

内接円の問題

(3)IからAB,BC,CAに垂線をひき交点をそれぞれC’,A’,B’とする。
AC’=xとするとAB’=xである。(ある点から円に向かって引いた2本の接線の接点までの長さは等しい)
同様にBC’=BA’=y(とおく) CA’=CB’=z(とおく)

辺の長さについての条件から
\(\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x+y=3\\
y+z=4\\
z+x=5
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}\)

これを解くとx=2,y=1,z=3

直角三角形AC’HにおいてAC’=2 , C’H=r=1だからAH=\( \sqrt{5}\)

この問題は△ABCが直角三角形なのでx=2であることは容易にわかる。(AC’=AB-BC’=AB-r=3-1=2)しかし,必ずしも直角とは限らない三角形でも説明できるようにあえてこのやり方をとった。

重心

重心

  • 頂点から、辺の中点に結ぶ直線(中線)の交点
  • 位置ベクトルは\( \displaystyle \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\)であらわされる。
  • 重心をGとし、AGとBCの交点をMとする。(MはBCの中点)
    このときAG:GM=2:1

垂心

  • 頂点から対辺に垂直になるように引いた線の交点
  • 位置ベクトルは\( \displaystyle \frac{\tan{A}\vec{a}+\tan{B}\vec{b}+\tan{C}\vec{c}}{\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}} \)
  • AHとBCの交点をA’,BHとCAの交点をB’,CHとABの交点をC’とする。
    4点AC’HB’  ,  BA’HC’   ,  CB’HA’ はそれぞれ同一円周上にある。
  • 垂直条件がたくさん隠れているのでこの性質を使うぐらいしか方法はない

垂心

例題
△ABCの垂心をHとする。\( AH=2R\cos{A} \)を示せ。Rは△ABCの外接円の半径である。
答えRがあるので正弦定理を使います。
\( AB’=AB\cos{A}=AH\cos{∠HAB’}\\=AH\cos{(90°-C)}=AH\sin{C}\)より
\(\displaystyle AH=\frac{AB\cos{A}}{\sin{C}}=2R\cos{A}\)最後の等号は正弦定理を用いた。

傍心

傍心

  • 高校では習わない
  • 三角形の外角の二等分線の交点(残りの内角の二等分にもなってます)
  • 1つの三角形につき3つある。

角の二等分を使うことは内心と同じです。

その他性質

  • 三角形の内接円の接点をA’,B’,C’とする。ただしA’はBC上、B’はCA上C’はAB上にある。このときAA’ , BB’, CC’は1点で交わる。(ジェルゴンヌ点という。証明はチェバの定理の逆)
  • 任意の三角形について外心・重心・垂心は必ず一直線上にあり、(外心から重心までの距離):(重心から垂心までの距離)=2:1(オイラー線

位置ベクトルは重心と内心以外覚えなくていいでしょう。

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