1辺aの正四面体の長さ・面積・体積・2平面のなす角度などまとめ

上野竜生です。1辺がaの正四面体の長さや表面積などに関するものを求めてみました。比較的求めやすいもの・試験問題に出やすいものから解説していきます。

正四面体

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表面積は\( \sqrt3 a^2 \)

1辺aの正三角形の面積の公式よりそれぞれの面の面積は\( \frac{\sqrt3}{4}a^2 \)

面は4つだから表面積は\( \frac{\sqrt3}{4}a^2 \times 4= \sqrt3 a^2 \)

高さは\( \frac{\sqrt6}{3}a \)

正四面体図1

正三角形O-ABCのBCの中点をMとする。AM=\( \frac{\sqrt3}{2}a \)

Oから△ABCに降ろした垂線の足をGとするとGは三角形ABCの重心。

よってAG:GM=2:1だから\( AG=\frac{2}{3}AM=\frac{\sqrt3}{3}a \)

△OAGは直角三角形だから三平方の定理より

\( OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=\sqrt{a^2-(\frac{\sqrt3}{3}a)^2}=\sqrt{\frac{2}{3}a^2}=\frac{\sqrt6}{3}a\)

体積は\( \frac{\sqrt2}{12}a^3\)

底面積は\( \frac{\sqrt3}{4}a^2 \)

高さは\( \frac{\sqrt6}{3}a \)

よって体積は\( \frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt3}{4}a^2 \cdot \frac{\sqrt6}{3}a = \frac{\sqrt2}{12}a^3 \)

内接球の半径は\( \frac{\sqrt6}{12}a \)

正四面体図2

内接球の中心をR,半径をrとし,体積を2通りで表す。

四面体R-OAB,R-OBC,R-OCA,R-ABCの体積の和=四面体OABCの体積

\( \frac13 \cdot \frac{\sqrt3}{4}a^2 r+\frac13 \cdot \frac{\sqrt3}{4}a^2 r+\frac13 \cdot \frac{\sqrt3}{4}a^2 r+\frac13 \cdot \frac{\sqrt3}{4}a^2 r=\frac{\sqrt2}{12}a^3 \)

\( \frac{\sqrt3}{3}a^2r=\frac{\sqrt2}{12}a^3 \)

∴\( r=\frac{\sqrt6}{12}a \)

外接球の半径は\( \frac{\sqrt6}{4}a \)

正四面体 図3

正四面体OABCの外接球の中心は重心に等しい。よってOからABCに降ろした垂線の足をGとし,四面体OABCの重心をG’とするとG’はOGを3:1に内分する点。

よって\( \frac34\)×四面体の高さ=\( \frac{\sqrt6}{4}a \)

正四面体の2つの面のなす角をθとするとき\( \cos{\theta}=\frac13 \)

正四面体 図4

高さを求めるときの図を使って説明するとθ=∠OMG

△OMGは直角三角形なので\( \cos{\theta}=\frac{MG}{OM}\)

\( OM=\frac{\sqrt3}{2}a , MG=\frac{1}{3}AM=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt3}{2}a \)

これを代入すると\( \cos{\theta}=\frac13 \)

θ=60°ではないので注意です。(約70.5°)

その他の特徴

正四面体の辺の中点を選ぶと正八面体になる。

正四面体 図5

こちらの特徴を使うことはあまりないでしょう。ただし東京大学などを狙う人は正八面体の知識を持っておいた方がいいのでこのことも知っているといいかもしれません。(まだこれを使った問題を見たことありませんが・・・)

立方体の8個の頂点からうまく4つを選ぶと正四面体になる。

正四面体 図6

立方体ABCD-EFGHのABCDの対角線ACとEFGHの対角線FHをとります。(ACとFHはねじれの位置)この4頂点A,C,F,Hを頂点とする立体が正四面体になります。

これを使って体積を計算すると次のようになります

ACは正方形の対角線なのでこれを正四面体の一辺aにするには立方体の1辺は\( \frac{1}{\sqrt2}a \)にしないといけません。

一辺が\( \frac{1}{\sqrt2}a \)の立方体の体積は\( (\frac{1}{\sqrt2}a)^3=\frac{\sqrt2}{4}a^3 \)

ここから除去するのは4つの三角錐(点B,D,E,Gを含む立体が1つずつ)でその体積は立方体全体の\( \frac{1}{6} \)だから残る正四面体の体積はもとの立方体の体積の
\( 1-\frac16 \times 4=\frac13 \)倍である。

よって正四面体の体積は\( \frac13 \cdot \frac{\sqrt2}{4}a^3=\frac{\sqrt2}{12}a^3 \)

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