定積分を含む関数漸化式

上野竜生です。定積分を含む関数漸化式の解き方を紹介します。今回は例題1つだけなので解説することは少な目です。

定積分を含む関数漸化式

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例題

関数列fn(x)はすべてxの1次関数で次の漸化式を満たす。fn(x)を求めよ。
\(f_1(x)=3x+1, \\ \displaystyle xf_{n+1}(x)=5x+6\int_{0}^{x} f_n(t) dt \)

このタイプの問題は関数として漸化式を解きたくなりますがそれだとなかなかうまくいきません。なぜならtの積分と1の積分では係数が異なってくるので積分後の関数をfn(x)で表現するのが難しいのです。そこでfn(x)が1次式であるということを手掛かりに係数を数列でおくという発想が重要です。

答えfn(x)=anx+bnとおくと,a1=3,b1=1
漸化式に代入すると
\(\displaystyle a_{n+1}x^2+ b_{n+1} x = 5x+ 6\int_0^x a_n t + b_n dt \\
=3a_n x^2 + 6b_n x + 5x \)
係数を比較すると
\( a_{n+1}= 3a_n \\ b_{n+1}=6b_{n}+5 \)
よって数列の漸化式を解くと
\( a_n= 3^n , b_n=2\cdot 6^{n-1}-1 \)
ゆえに
\( f_n(x)=3^n x+ 2\cdot 6^{n-1}-1 \)
数列の漸化式を解く部分を省略してますが
anは初項3,公比3の等比数列なのですぐわかります。
bnは漸化式の両辺に1を足すと
bn+1+1=6(bn+1)
bn+1は初項b1+1=2,公比6の等比数列だから
\( b_n+1=2\cdot 6^{n-1} \)
よって1をひくと
\( b_n= 2\cdot 6^{n-1}-1 \)
と求められます。答案には残したほうがいいでしょう。
この問題では最初にfn(x)が1次式だと明記されていますが,実は明記してなくても1次式だとわかります。
数学的帰納法で示せます。(積分の部分が2次式で定数項が0であることを言えば良く,帰納法の仮定よりfn(t)は1次式なので簡単に言える。)

出題頻度はやや低めで最初のアイデアだけ間違わなければ難しくないです。特に猛練習する内容ではないでしょう。

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