sinx,cosxの積分でどうしても無理なときはt=tan(x/2)とおく

上野竜生です。数IIIの積分でsinとcosのみで書かれた式でどうしても計算できないっていうのはほとんどないとは思いますが理論上は作れます。その場合は\( t=\tan{\frac{x}{2}}\)とおくとうまくいく場合が多いですがそのあともやや複雑なのでここでまとめることにしました。

t=tan(x/2)とおく積分

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\( t=\tan{\frac{x}{2}}\)と置換積分する

このとき,\(\displaystyle \cos^2{\frac{x}{2}}=\frac{1}{1+t^2} \)であることに注意します。

\( \displaystyle \sin{x}=2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}=2\tan{\frac{x}{2}}\cos^2{\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^2}\)

\( \displaystyle \cos{x}=2\cos^2{\frac{x}{2}}-1=\frac{1-t^2}{1+t^2}\)

\( \displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1}{2\cos^2{\frac{x}{2}}}\)より
\( \displaystyle \frac{dx}{dt}=2\cos^2{\frac{x}{2}}=\frac{2}{1+t^2}\)となります。

これで変換できます。

理論上は有理関数にできる。でも試験で使えるかというと・・・?

計算量が膨大になって試験ではあまり使うことはありません。他の変換でできるならなるべくそちらのほうがいいです。ただし,この置換でないと計算できない場合もあります。一度どんな場合でできそうかやってみましたがおよそ2パターンぐらいしか見つかりませんでした。なのでその2パターンを紹介します。

例題
(1) 不定積分\( \displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin{x}+\cos{x}}\)を求めよ。
(2) 定積分\( \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{2+\sin{x}}\)を求めよ。

(1) \( t=\tan{\frac{x}{2}} \)と置換すると

\( \displaystyle \int \frac{1}{1+\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt \\
=\displaystyle \int \frac{2}{1+t^2+2t+1-t^2}dt \\
=\displaystyle \int \frac{dt}{1+t} \\
=\displaystyle \log{(1+t)}+C \\
=\displaystyle \log{\left(1+\tan{\frac{x}{2}}\right)}+C\)

(2) \( t=\tan{\frac{x}{2}} \)と置換すると

\( \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\frac{2}{1+t^2}dt}{2+\frac{2t}{1+t^2}} \\
\displaystyle = \int_{0}^{1} \frac{2dt}{2+2t+2t^2} \\
\displaystyle = \int_{0}^{1} \frac{dt}{(t+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}\)

\( t+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan{\theta} \)と置換すると

\( \displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{d\theta}{\cos^2{\theta}}}{\frac{3}{4}(1+\tan^2{\theta})} \)

\(=\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{2}{\sqrt{3}}d\theta \\
=\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{6} \\
=\displaystyle \frac{\pi}{3\sqrt{3}}\)

1パターンも知らなくてもいいレベルですがこの2パターンだけ知っていれば十分でしょう。

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